[논문 리뷰] The t copula with Multiple Parameters of Degrees of Freedom: Bivariate Characteristics and Application to Risk Management

Xiaolin Luo, Pavel V. Shevchenko|SSRN Electronic Journal|2007. 10. 22.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 각 변량마다 별도의 자유도(parameter)를 갖는 새로운 이元 t 커플라를 제안하며, 이는 그룹화가 필요 없는 군집 t 커플라와는 달리 사전에 그룹을 나누는 것을 제거한다. 이 모델이 표준 t 커플라보다 더 유연하게 꼬리 의존성 모델링과 리스크 측정(예: Value at Risk 및 Expected Shortfall)을 향상시킴을 보여준다.

ABSTRACT

The t copula is often used in risk management as it allows for modelling tail dependence between risks and it is simple to simulate and calibrate. However, the use of a standard t copula is often criticized due to its restriction of having a single parameter for the degrees of freedom (dof) that may limit its capability to model the tail dependence structure in a multivariate case. To overcome this problem, grouped t copula was proposed recently, where risks are grouped a priori in such a way that each group has a standard t copula with its specific dof parameter. In this paper we propose the use of a grouped t copula, where each group consists of one risk factor only, so that a priori grouping is not required. The copula characteristics in the bivariate case are studied. We explain simulation and calibration procedures, including a simulation study on finite sample properties of the maximum likelihood estimators and Kendall's tau approximation. This new copula can be significantly different from the standard t copula in terms of risk measures such as tail dependence, value at risk and expected shortfall. Keywords: grouped t copula, tail dependence, risk management.

연구 동기 및 목표

• 표준 t 커플라가 단일 자유도(dof) 파ameter를 사용하여 다변량 환경에서 꼬리 의존성 모델링에 제약을 둔다는 한계를 해결하기 위해.
• 각 변량에 대해 개별 자유도 파ameter를 허용하는 탄력적인 커플라 모델을 개발하여 리스크 요소의 사전에 임의의 그룹화가 필요 없도록 하기 위해.
• 이 새로운 커플라의 이원 특성, 즉 의존성 구조와 꼬리 행동을 연구하기 위해.
• 리스크 관리 응용에 적합한 실용적인 시뮬레이션 및 캘리브레이션 절차를 제공하기 위해.
• 제안된 모델에서 최대우도추정기(MLE)와 켄달의 타우 근사의 유한표본 성능을 평가하기 위해.

제안 방법

• 각 변량에 대해 별도의 자유도 파ameter를 갖는 t 커플라를 제안하여 비대칭 꼬리 의존성을 가능하게 한다.
• 다중 자유도 파ameter를 갖는 이원 커플라의 공동 밀도함수 및 누적분포함수를 유도한다.
• 조건부 분포 기반의 시뮬레이션 알고리즘을 개발하여 커플라에서 종속된 변량을 생성한다.
• 최대우도추정(MLE)을 사용하여 파ameter를 캘리브레이션하며, 점근적 표준오차를 유도한다.
• 켄달의 타우를 순위 기반의 꼬리 의존성 추정기로 적용하고, 새로운 커플라에 대해 근사 공식을 유도한다.
• 유한표본 성능 평가를 위해 MLE 및 켄달의 타우 추정치의 편향, 평균제곱오차 및 신뢰구간 커버리지 확률을 분석하는 시뮬레이션 연구를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제안된 다중 자유도 파ameter를 갖는 t 커플라의 의존성 구조는 표준 t 커플라와 어떻게 다를까?
• RQ2 단일 자유도 파ameter를 갖는 표준 t 커플라에 비해 새로운 커플라가 비대칭 꼬리 의존성을 더 효과적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ3 제안된 모델의 파ameter에 대한 최대우도추정기의 유한표본 성질은 어떠한가?
• RQ4 새로운 커플라 모델에서 켄달의 타우 근사는 실측 추정치에 비해 얼마나 정확한가?
• RQ5 Value at Risk 및 Expected Shortfall 등의 리스크 측정치가 제안된 커플라를 사용할 경우 표준 t 커플라를 사용할 경우와 어떻게 다를까?

주요 결과

• 제안된 다중 자유도 파am터를 갖는 t 커플라는 특히 비대칭 상황에서 표준 t 커플라와 비교해 유의미하게 다른 꼬리 의존성 구조를 보인다.
• 시뮬레이션 결과, 자유도 파am터에 대한 최대우도추정기의 유한표본에서 편향이 낮고 커버리지가 양호하여 캘리브레이션의 신뢰성이 높음을 시사한다.
• 새로운 커플라에 대한 켄달의 타우 근사는 정확하며, 꼬리 의존성 추정에 대한 강력한 대안을 제공한다.
• Value at Risk 및 Expected Shortfall 등의 리스크 측정치는 제안된 커플라를 사용할 경우 유의미하게 다를 수 있으며, 극단적 동시이동을 더 잘 모델링함을 반영한다.
• 특히 각 변량 간 꼬리 행동이 이질적인 경우, 복잡한 의존 패턴을 더 잘 포착함에 따라 표준 t 커플라보다 성능이 뛰어나다.