[논문 리뷰] The tail empirical process of regularly varying functions of geometrically ergodic Markov chains

Rafał Kulik, Philippe Soulier외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 16.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 40인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 기하적 에르고딕 마코프 체인에서 유도된 정규적으로 변화하는 시간 시리즈에 대해, 단일로 확인 가능한 기하학적 드리프트 (포스터-리아파노프) 조건 하에서 尾(empirical) 프로세스의 약한 수렴을 확립한다. 주요 기여는 꼬리 배열 합의 점근적 정규성과 클러스터 통계량의 실용적 추정을 보장하는 일반적인 프레임워크를 제공하는 것으로, GARCH 및 AR(1) 모델에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

We consider a stationary regularly varying time series which can be expressedas a function of a geometrically ergodic Markov chain. We obtain practical conditionsfor the weak convergence of the tail array sums and feasible estimators ofcluster statistics. These conditions include the so-called geometric drift or Foster-Lyapunovcondition and can be easily checked for most usual time series models witha Markovian structure. We illustrate these conditions on several models and statisticalapplications. A counterexample is given to show a different limiting behaviorwhen the geometric drift condition is not fulfilled.

연구 동기 및 목표

• 기하적 에르고딕 마코프 체인의 정규적으로 변화하는 함수에 대한 尾(array) 합의 약한 수렴을 확립하기 위해.
• 꼬리 통계량의 점근적 정규성을 위한 실용적이고 검증 가능한 조건—특히 기하학적 드리프트 조건—을 제공하기 위해.
• $J_1$ 위상에서의 강도 있는 수렴을 필요로 하는 통계 응용으로 기능적 수렴 결과를 확장하기 위해.
• 일반적인 시간 시리즈 모델인 AR(1) 및 GARCH 과정에 대해 방법을 적용하기 위해.
• 기하학적 드리프트 조건을 만족하지 못할 경우, 비표준 한계 행동이 발생함을 반례를 통해 보여주기 위해.

제안 방법

• 기하학적 (포스터-리아파노프) 드리프트 조건을 활용하여 기하학적 $β$-믹싱과 기저 마코프 체인의 비가역성을 보장한다.
• 비가역 마코프 체인의 재생 구조를 적용하여 꼬리 배열 합의 점근적 정규성에 대한 한계를 도출한다.
• 삼각형 배열에 대한 린데베르그 중심극한정리(central limit theorem)를 적용하여 유한차원 수렴을 증명한다.
• 빌링슬리의 기준과 가짜 거리 엔트로피 조건을 사용하여 $J_1$ 강도 있는 수렴을 확립한다.
• 약한 수렴을 $\ell_\infty(\mathcal{F})$ 에서 다루기 위해, 에미피리컬 프로세스 이론(Giné와 Nickl, 2016; van der Vaart와 Wellner, 1996)을 적응하여 적용한다.
• 정규 변화와 모멘트 조건을 사용하여 꼬리 에미피리컬 프로세스와 같은 기능에 대한 명시적 한계 분산을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하적 에르고딕 마코프 체인에 의해 구동되는 정규적으로 변화하는 시간 시리즈의 꼬리 에미피리컬 프로세스가 약한 수렴을 보일 조건은 무엇인가?
• RQ2 기하학적 드리프트 조건은 일반적인 시간 시리즈 모델들 간에 꼬리 배열 합의 점근적 정규성을 검증하는 통합 기준으로서 기능할 수 있는가?
• RQ3 기하학적 드리프트 조건이 성립하지 않을 경우, 꼬리 에미피리컬 프로세스의 한계 행동은 어떻게 변화하며, 이는 표준 극한값 이론과 어떻게 다를까?
• RQ4 기하학적 드리프트 조건 하에서 클러스터 통계량의 실용적 추정량을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 마코프 체인의 기하학적 에르고디시티가 기능적 중심극한정리에 필요한 믹싱 및 모멘트 조건을 얼마나 잘 보장하는가?

주요 결과

• 기하학적 드리프트 조건은 시간 시리즈가 기하학적 감쇠를 보이는 $β$-믹싱이 되도록 보장하여, 약한 의존성 프로세스에 대한 중심극한정리의 적용을 가능하게 한다.
• 꼬리 에미피리컬 프로세스 $\widetilde{T}_n(s)$ 는 기하학적 드리프트 조건 하에서 $D(0,\infty)$ 에서 약한 수렴을 보이며, 한계 분산은 $\frac{2s^{1-\alpha}}{\alpha(\alpha-1)}$ 이다.
• 함수 $\mathbb{M}_n(\phi)$ 의 유한차원 분포는 가우시안 프로세스로 수렴하며, 엔트로피와 등연속성 조건 하에서 $J_1$ 위상에서 기능적 수렴이 성립한다.
• 꼬리 지수 $\beta$ 를 가진 정규적으로 변화하는 레비 과정 $Z_t$ 에 대해, 정규화된 합 $\frac{1}{u_n\sqrt{n\bar{F}_Z(u_n)}}\sum_{j=1}^n \{(Z_{\sigma_{j-1}+1} - [u_n s])_+ - \mathbb{E}[(Z_0 - [u_n s])_+]\}$ 은 분포 수렴으로 정규분포로 수렴하며, 분산은 $\frac{2s^{2-\beta}}{(β-1)(\u03b2-2)}$ 이다.
• 반례를 통해 기하학적 드리프트 조건이 성립하지 않을 경우, 꼬리 에미피리컬 프로세스의 한계 행동이 표준 극한값 한계에서 벗어나며, 이는 조건의 필수성을 시사한다.
• 이 방법은 AR(1) 및 GARCH 과정과 같은 일반적인 모델에 적용 가능하며, 명시적 리아파노프 함수를 통해 드리프트 조건을 검증할 수 있다.