[논문 리뷰] The Tamarkin--Tsygan calculus of an algebra a la Stasheff

Pedro Tamaroff|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 21.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비가환 다항체장과 비가환 미분형식의 쿼asi-free 코프리프레임 레플리카션을 사용하여 결합 대수에 대한 Tamarkin–Tsygan 미분계산법의 내재적이고 계산 가능한 기술을 제공한다. 이는 $Σ\mathsf{Calc}$ 가 비균일 킷스룰이라는 것을 증명하며, 이는 Cup 곱, Gerstenhaber 괄호, 형식의 미분을 명시적인 공식으로 계산하는 $Σ\mathsf{Calc}_{\infty}$-모델을 가능하게 한다. 단순 대수에 대한 응용으로 Hochschild 코homology와 호모로지의 명시적 계산이 가능하다.

ABSTRACT

We show how to compute the Tamarkin-Tsygan calculus of an associative algebra by providing, for a given cofibrant replacement of it, a `small' $\mathsf{Calc}_\infty$-model of its calculus, which we make somewhat explicit at the level of $\mathsf{Calc}$-algebras. To do this, we prove that the operad $\mathsf{Calc}$ is inhomogeneous Koszul; to our best knowledge, this result is new. We illustrate our technique by carrying out some computations for two monomial associative algebra using the cofibrant replacement obtained by the author in 1804.01435.

연구 동기 및 목표

• 코프리프레임 해석의 내재적 구조를 사용하여 결합 대수에 대한 Tamarkin–Tsygan 미분계산법의 호모토피 불변이고 계산 가능한 기술을 제공하기 위해.
• 색깔이 있는 $Σ\mathsf{Calc}$ 작용소가 비균일 킷스룰임을 증명하여 이전까지 알려지지 않은 결과를 확립하기 위해.
• 쿼اسي프리 모델에 대응하는 비가환 다항체장과 미분형식의 복합체에 $Σ\mathsf{Calc}_{\infty}$-대수의 구조를 구성하기 위해.
• 이 모델을 통해 Hochschild 코호몰로지와 호모로지의 명시적 계산, 특히 Gerstenhaber 괄호와 코호몰로지 위의 작용을 가능하게 하기 위해.
• Stasheff의 방식으로 내재된 계산법을 호모토피-일관된 프레임워크로 확장하여 동치의 호모로지에서 고전적 계산법을 복원하기 위해.

제안 방법

• 결합 대수 $A$의 코프리프레임 해석으로서 쿼اسي프리 결합 대수 $B = (TV, d)$ 를 사용하여 유도된 구조를 통해 계산을 가능하게 하기 위해.
• 비가환 다항체장 $\mathcal{X}^*(B) = \operatorname{cone}(\operatorname{Ad}: B \to \operatorname{Der}(B))$ 와 비가환 미분형식 $\Theta_*(B) = \operatorname{cone}(C: V \otimes B \to B)$ 의 정의.
• 작용소에 대한 비균일 킷스룰 이론을 통해 $(\mathcal{X}^*(B), \Theta_*(B))$ 에서 $Σ\mathsf{Calc}_{\infty}$-대수의 구조를 구성하기 위해.
• 계산 연산의 명시적 공식: Cup 곱은 브레이스 연산 $\{X,Y;d\}$ 로 주어지고, 괄호는 유도의 교환자로서, 형식의 미분은 $d\omega = \sum (-1)^\varepsilon v_{i+1}\cdots v_n v_1\cdots v_{i-1} dv_i$ 로 주어진다.
• Kontsevich–Soibelman 작용소 $Σ\mathsf{KS}$ 와 $C_*(\mathsf{Cyl})$ 의 형식성(foredom)을 사용하여 $Σ\mathsf{Calc}_{\infty}$-구조가 Hochschild 복합체의 호모로지와 관련됨을 밝혀내기 위해.
• 유도된 구조를 $B$ 에 적용하여 단순 대수에 대한 Hochschild 코호몰로지 $\mathrm{HH}^*(A)$ 와 호모로지 $\mathrm{HH}_*(A)$ 의 계산을 수행하며, 코호몰로지 군의 명시적 기저를 제공하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결합 대수의 Tamarkin–Tsygan 미분계산법은 Bar 구성과 코유도자에 의해 Stasheff의 방식으로 내재적으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 계산 구조를 지배하는 색깔이 있는 작용소 $Σ\mathsf{Calc}$ 는 비균일 킷스룰인가?
• RQ3 $\u03a3\mathsf{Calc}_{\infty}$-대수의 구조를 쿼اسي프리 모델의 비가환 다항체장과 미분형식의 복합체에 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 모델의 계산 구조에서 Cup 곱, Gerstenhaber 괄호, 미분의 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크는 구체적인 단순 결합 대수에 대해 Gerstenhaber 대수의 구조와 Hochschild 코호몰로지를 어떻게 계산하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• $\u03a3\mathsf{Calc}$ 작용소는 비균일 킷스룰임이 증명되었으며, 이는 새로운 결과로서, 기저가 $T(\delta) \circ \mathsf{PreCalc}^{\text{!}}$ 와 동형인 코프리프레임 $Σ\mathsf{Calc}_{\infty}$-모델의 구성이 가능하게 한다.
• 결합 대수 $A$ 의 Tamarkin–Tsygan 미분계산법 $\mathsf{Calc}_A$ 는 임의의 쿼اسي프리 모델 $B \to A$ 에 대해 쌍 $(\mathcal{X}^*(B), \Theta_*(B))$ 를 통해 계산 가능하다.
• Cup 곱은 브레이스 연산 $\{X,Y;d\}$ 로 주어지고, 괄호는 표준적인 도함수의 교환자로서, 형식의 미분은 $d\omega = \sum (-1)^\varepsilon v_{i+1}\cdots v_n v_1\cdots v_{i-1} dv_i$ 로 주어진다.
• 단순 대수 $A = \Bbbk\langle x,y,\Lambda,\Gamma \mid x^2=0, yx=0, \Lambda x=0, \Gamma y=0 \rangle$ 에 대해 $\mathrm{HH}^2(A)$ 와 $\mathrm{HH}^3(A)$ 는 각각 2차원이며, 유도자 $\Phi_0, \Phi_1$ 과 $\Upsilon_0^0, \Upsilon_0^1$ 의 클래스로 명시적 기저가 주어진다.
• Gerstenhaber 괄호 작용은 명시적으로 계산되었으며, 예를 들어 $[E_{s+2}, \Phi_t] = 3\Xi_{s+t+1} - 2\Theta_{s+t}$ 이고, $[F_0, -] = [G_0, -] = 0$ 는 $\langle \Upsilon_s^t, \Phi_s \rangle$ 에서 성립하지만, $[F_0, -] = [G_0, -] = 2$ 는 $\langle \Omega_s^t \rangle$ 에서 성립한다.
• 순환 호모로지 $\mathrm{HC}_*(A)$ 는 0차에서만 집중되어 있으며 $\Bbbk[\bar{y}]$ 와 동형이며, $\mathrm{HH}_*(A)$ 는 1보다 큰 차수에서 자명하고 $d: \mathrm{HH}_0(A) \to \mathrm{HH}_1(A)$ 는 동형이다.