[논문 리뷰] The tangent space to the moduli space of vector bundles on a curve and the singular locus of the theta divisor of the jacobian

B. van Geemen, Elham Izadi|ArXiv.org|1998. 05. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 비초평면적이고 계수 g ≥ 4인 곡선에 대해, 계수 2의 벡터(bundle)의 모듈리 공간이 Pic^{g−1}C의 선형계 |2Θ|에 임베딩됨을 완성한다. 비안정 벡터(bundle) ξ⊕ξ⁻¹에서의 임베딩된 접공간을, 이동된 θ-분할의 특이점 집합을 포함하는 |2Θ|의 분할들의 선형계로 기하학적으로 특성화한다. 이는 Sing(Θ_ξ)로부터 유도되는 선형 조건을 통해 접공간을 기하학적으로 기술한다.

ABSTRACT

We complete the proof of the fact that the moduli space of rank two bundles with trivial determinant embeds into the linear system of divisors on $Pic^{g-1}C$ which are linearly equivalent to $2Θ$. The embedded tangent space at a semi-stable non-stable bundle $ξ\oplusξ^{-1}$, where $ξ$ is a degree zero line bundle, is shown to consist of those divisors in $|2Θ|$ which contain $Sing(Θ_ξ)$ where $Θ_ξ$ is the translate of $Θ$ by $ξ$. We also obtain geometrical results on the structure of this tangent space.

연구 동기 및 목표

• 비초평면적이고 계수 g ≥ 4인 곡선에 대해, 사상 Δ: M_O → |2Θ|가 임베딩임을 완성하는 것.
• 비안정 벡터(bundle) ξ⊕ξ⁻¹의 이미지에서 Δ(M_O)의 임베딩된 접공간을 특성화하는 것.
• 이동된 θ-분할 Θ_ξ의 특이점 집합에 의해 유도되는 선형 조건들로 접공간의 기하학적 구조를 규명하는 것.
• 베르린데 공식과 불변량 이론을 통해 곡선과 모듈리 공간의 코homological 자료와 접공간의 구조를 연결하는 것.
• M_O의 특이점에서의 접공간과 Pic^{g−1}C의 θ-분할 기하학 사이의 정확한 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 비안정 벡터(bundle) ξ⊕ξ⁻¹에서의 임베딩을 보장하기 위해, E가 h⁰(E⊗L) > 0인 L ∈ Pic^{g−1}C를 포함하는 분할 D_E로 보내는 사상 Δ: M_O → |2Θ|를 사용한다.
• Bravio와 Verra(2000)의 결과를 적용하여, Δ가 비안정 벡터(bundle) ξ⊕ξ⁻¹에서의 임베딩임을 증명한다.
• Δ(ξ⊕ξ⁻¹)에서의 임베딩된 접공간 T_ξ를, 이동된 분할 Θ_ξ의 특이점 집합 Sing(Θ_ξ)를 포함하는 |2Θ|의 분할들의 집합으로 식별한다.
• 자연스러운 사상 h: Pic^{g−1}C → |2Θ|*를 통해, L이 Sing(Θ_ξ)를 따라가며 |2Θ|* 내의 초평면 H_L ⊂ |2Θ|*의 교차로 접공간을 표현한다.
• Leray 스펙트럴 시퀀스와 Künneth 동형을 사용한 코homological 계산을 통해 H^i(C^{(g−1)} × C, p^*L)와 H^i(D, O_D(D) ⊗ p^*L)를 분석한다.
• 레미마 7.7, 7.8, 7.13, 7.29의 동형을 이용한 코homology의 장점 수열과 사상의 전성 증명을 통해 차원을 계산하고 핵심 사상의 전성 증명을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비안정 벡터(bundle) ξ⊕ξ⁻¹에서의 모듈리 공간 M_O의 임베딩된 접공간의 정확한 기하학적 기술은 무엇인가?
• RQ2 이동된 θ-분할 Θ_ξ의 특이점 집합은 |2Θ|에서 Δ(M_O)의 접공간과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 접공간 ξ⊕ξ⁻¹는 특정 기하학적 조건을 만족하는 |2Θ|의 분할들의 선형계로 기술될 수 있는가?
• RQ4 접공간 T_{ξ⊕ξ⁻¹}M_O의 코homological 구조는 무엇이며, S²H¹(O)와 ∧³H¹(O)와 같은 성분으로 어떻게 분해되는가?
• RQ5 대칭곱 C^{(g−1)}과 그의 풍선의 선형계 위의 선형계의 고차 코homology 군은 접공간 계산과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• Δ(ξ⊕ξ⁻¹)에서의 임베딩된 접공간 T_ξ ⊂ |2Θ|는 정확히 이동된 θ-분할 Θ_ξ의 특이점 집합 Sing(Θ_ξ)를 포함하는 |2Θ|의 분할들의 집합이다.
• 접공간 T_ξ는 모든 L ∈ Sing(Θ_ξ)에 대해 H_L ⊂ |2Θ|*의 초평면의 교차로 표현되며, 즉 T_ξ = ∩_{L∈Sing(Θ_ξ)} H_L이다.
• 접공간 T_ξ의 차원은 (g−1)²이며, 이는 ξ⊕ξ⁻¹에서 M_O의 접공간의 차원과 정확히 일치한다.
• 접공간 T_{O⊕O}는 S²H¹(C,O) ⊕ ∧³H¹(C,O)로 분해되며, 여기서 S²H¹(C,O)는 M_O 내부의 Kummer 다양체 K⁰(C)에 대응한다.
• ∧³H¹(C,O)는 전체 접공간 T_ξ를 포함하지는 않지만 Kummer 다양체의 접공간을 포함하는 |2Θ| 내의 초평면의 가중가를 통해 탐지된다.
• 상대 접층의 코homology 군 H¹(C^{(g−1)}, T_{C^{(g−1)}} ⊗ L)는 스펙트럴 시퀀스와 동형을 통해 계산되며, H¹(C^{(g−1)}, T_{C^{(g−1)}} ⊗ L) ≅ (g−1)²를 얻는다.