[논문 리뷰] The Tarski-Seidenberg Theorem with Quantifiers and Polynomial Vector Variational Inequalities

Vu Trung Hieu|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 01.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 7인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 양의 다항형 벡터 변분부등식 및 최적화 문제에서 해 집합의 준대수적 구조와 연결성에 대해 Tarski-Seidenberg 정리(양적 포함)를 사용하여 설정한다. 해 집합이 준대수적임을 증명하고, Mangasarian-Fromovitz 제약 조건 충족 조건을 요구하지 않으며, 해 집합의 연결 성분 수에 대한 명시적 상계를 제시한다. 이는 Kim, Pham, Tuyen 및 Huong, Yao, Yen의 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We study the connectedness structure of the proper Pareto solution sets, the Pareto solution sets, the weak Pareto solution sets of polynomial vector variational inequalities, as well as the connectedness structure of the efficient solution sets and the weakly efficient solution sets of polynomial vector optimization problems. By using the Tarski-Seidenberg Theorem with quantifiers, we are able to prove that these solution sets are semi-algebraic without imposing the Mangasarian-Fromovitz constraint qualification on the system of constraints. Furthermore, we obtain explicit upper bounds for the number of connected components of these solution sets. Thus, the present paper develops an idea suggested by D.S. Kim, T.S. Pham, and N.V. Tuyen [arXiv:1611.07108, 22 November 2016; Remark 3.2], and gives some refinements and extensions for the results of N.T.T. Huong, J.-C. Yao, and N.D. Yen [SIAM J. Optim. {\bf 26}, 1060--1071 (2016)].

연구 동기 및 목표

• 다항형 벡터 변분부등식 및 최적화 문제에서 적절한 페레토, 페레토, 약한 페레토, 효율, 약한 효율 해 집합의 연결성 구조를 분석한다.
• Mangasarian-Fromovitz 제약 조건 충족 조건을 가정하지 않고 이러한 해 집합이 준대수적임을 확립한다.
• 이러한 해 집합의 연결 성분 수에 대한 명시적 상계를 유도한다.
• Kim, Pham, Tuyen(2016) 및 Huong, Yao, Yen(2016)의 해 집합의 위상적 구조에 관한 이전 결과를 확장하고 정밀화한다.

제안 방법

• 해 집합을 묘사하는 논리 공식을 준대수적 집합으로 변환하기 위해 양적 포함 Tarski-Seidenberg 정리를 적용한다.
• 해 집합을 준대수적 집합으로 특성화하기 위해 양적 제거 기법을 사용하여 위상적 규칙성을 보장한다.
• 다항부등식과 등식으로 정의된 해 집합의 구조를 분석하기 위해 대수기하학 도구를 활용한다.
• 준대수기하학의 복잡도 상한을 사용하여 연결 성분 수에 대한 상한을 도출한다.
• 다항식 시스템에 대한 양적 제거를 활용하여 Mangasarian-Fromovitz 제약 조건 충족 조건에 의존하지 않는다.
• 해 집합이 유한 합집합과 교집합에 대해 닫혀 있으며, 준대수적 구조를 유지함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Mangasarian-Fromovitz 제약 조건 충족 조건을 가정하지 않고도 다항형 벡터 변분부등식의 해 집합의 연결성 구조를 특성화할 수 있는가?
• RQ2 다항형 벡터 변분부등식에서 적절한 페레토, 페레토, 약한 페레토 해 집합은 준대수적인가?
• RQ3 이러한 해 집합의 연결 성분 수에 대해 어떤 명시적 상한을 설정할 수 있는가?
• RQ4 다항형 벡터 최적화 문제에서 해 집합의 위상적 성질은 벡터 변분부등식의 해 집합과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 양적 포함 Tarski-Seidenberg 정리는 기존의 해 집합 구조에 대한 결과를 얼마나 일반화하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 다항형 벡터 변분부등식의 적절한 페레토 해 집합은 준대수적이며, 연결 성분 수에 대한 명시적 상한을 가진다.
• 다항형 벡터 변분부등식의 페레토 해 집합은 준대수적이며, 그 연결 성분 수는 균일하게 유계이다.
• 다항형 벡터 변분부등식의 약한 페레토 해 집합은 준대수적이며, 연결 성분 수는 계산 가능한 표현식으로 상한이 있다.
• 다항형 벡터 최적화 문제의 효율 및 약한 효율 해 집합은 준대수적이며, 유한한 개수의 연결 성분을 가진다.
• 결과는 Mangasarian-Fromovitz 제약 조건 충족 조건을 요구하지 않으며, 이는 이전 정리의 적용 범위를 넓힌다.
• 논문은 다항식 시스템에 대한 양적 제거를 통해 해 집합의 위상적 복잡도를 결정하는 구성적 프레임워크를 제공한다.