[논문 리뷰] The terms in Lucas sequences divisible by their indices

Christopher Smyth|ArXiv.org|2009. 08. 26.

Advanced Mathematical Theories and Applications참고 문헌 15인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 루카스 수열의 제1종과 제2종에 해당하는 $ u_n $ 및 $ v_n $의 $ n $-번째 항을 나누는 자연수 $ n $ 를 특성화한다. 이러한 $ n $ 는 1, 6 또는 12와 같은 '기본' 값들과 $ u_n\Delta $ 또는 $ v_n\Delta $ 에서 유도된 특정 소수들의 곱임을 증명하며, 재귀적 소수 확장과 나눗셈 성질을 활용하여 이러한 나눗셈 집합의 완전한 구조적 기술을 제공한다.

ABSTRACT

For Lucas sequences of the first kind (u_n) and second kind (v_n) defined as usual for positive n by u_n=(a^n-b^n)/(a-b), v_n=a^n+b^n, where a and b are either integers or conjugate quadratic integers, we describe the set of indices n for which n divides u_n and also the set of indices n for which n divides v_n. Building on earlier work, particularly that of Somer, we show that the numbers in these sets can be written as a product of a so-called basic number, which can only be 1, 6 or 12, and particular primes, which are described explicitly. Some properties of the set of all primes that arise in this way is also given, for each kind of sequence.

연구 동기 및 목표

• 제1종 루카스 수열에 대해 $ \{n \in \mathbb{N} : n \mid u_n\} $ 의 집합을 특성화하는 것.
• 제2종 루카스 수열에 대해 $ \{n \in \mathbb{N} : n \mid v_n\} $ 의 집합을 특성화하는 것.
• 이 집합들의 '기본' 원소를 식별하고, 특정 소수를 곱함으로써 모든 원소가 어떻게 생성되는지 기술하는 것.
• 이러한 $ n $ 의 집합 또는 관련 소수 집합이 유한하거나 무한한 조건을 결정하는 것.

제안 방법

• 특성 방정식 $ x^2 - Px + Q = 0 $ 의 근 $ \alpha, \beta $ 와 비네의 공식을 사용하여 루카스 수열 $ u_n $ 과 $ v_n $ 을 정의한다.
• 정리 1(b) 를 적용하여, 제1종의 모든 $ n \in S $ 는 기본 원소와 $ u_n\Delta $ 을 나누는 소수들의 집합인 $ \mathcal{P}_{S,n} $ 의 곱임을 보인다.
• 소머의 결과(정리 3)와 개선된 결과(정리 4)를 활용하여 최대 소수 인수로 역방향 나눗셈을 가능하게 하여 기본 원소를 식별한다.
• 항등식 $ u_{kn} = u_k^{(n)} u_n $ 을 사용하여 $ u_n \mid u_{np} $ 임을 보이고, $ S $ 가 $ \mathcal{P}_{S,n} $ 의 소수들과의 곱에 대해 닫혀 있음을 뒷받침한다.
• 보조정리 2를 적용: $ m $ 의 모든 소수 인수가 $ u_n\Delta $ 를 나누면, $ nm \in S $ 이다. 이는 이전 결과를 강화한다.
• 집합 $ S $ 와 $ T $ 가 기본 원소를 루트로 하는 트리의 숲으로서의 구조를 분석하며, 허용된 소수로 표시된 간선을 통해 상한 이하의 원소를 효율적으로 탐색할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제1종 루카스 수열에서 어떤 $ n $ 에 대해 $ n \mid u_n $ 이 성립하는가?
• RQ2 제2종 루카스 수열에서 어떤 $ n $ 에 대해 $ n \mid v_n $ 이 성립하는가?
• RQ3 집합 $ \{n : n \mid u_n\} $ 과 $ \{n : n \mid v_n\} $ 의 '기본' 원소는 무엇이며, 이러한 모든 $ n $ 는 어떻게 그 기본 원소들로부터 생성되는가?
• RQ4 $ P $ 와 $ Q $ 에 대해 어떤 조건에서 집합 $ \{n : n \mid u_n\} $, $ \{n : n \mid v_n\} $ 또는 관련 소수 집합이 유한하거나 무한한가?

주요 결과

• 집합 $ \{n : n \mid u_n\} $ 는 기본 원소(1, 6 또는 12)와 $ u_n\Delta $ 을 나누는 소수들의 집합 $ \mathcal{P}_{S,n} $ 의 곱으로 이루어진다.
• 제1종의 기본 원소는: $ P \equiv 3 \pmod{6} $ 이고 $ Q \equiv \pm1 \pmod{6} $ 이면 1과 6; $ P \equiv \pm1 \pmod{6} $ 이고 $ Q \equiv -1 \pmod{6} $ 이면 1과 12; 그렇지 않으면 오직 1 뿐이다.
• 제2종의 경우, 집합 $ \{n : n \mid v_n\} $ 는 기본 원소로부터 유사하게 생성되며, $ \mathcal{P}_{T,n} $ 는 $ v_n\Delta $ 를 나누는 소수들로 정의되며, 특수한 경우에 2를 포함할 수 있다.
• $ S $ 가 유한하지 않다면, 어떤 $ n \in S $ 에도 나누어지는 모든 소수들의 집합 $ \mathcal{P}_S $ 는 유한하지 않다; $ P=1, Q=-1 $ (피보나치 경우)일 경우 전체 소수 집합이 된다.
• $ v_n $ 이 비퇴화하고 무한히 많은 원시 소수 인수를 가지는 한, 집합 $ \mathcal{P}_T $ 는 일반적인 $ P $ 와 $ Q $ 의 조건 하에 유한하지 않다.
• 보조정리 2는 $ m $ 의 모든 소수 인수가 $ u_n\Delta $ 를 나누면 $ nm \in S $ 임을 보여주며, $ S $ 에 속하는 데 강력한 충분조건을 제공한다.