[논문 리뷰] The Thompson-Higman monoids M_{k,i}: the J-order, the D-relation, and their complexity

Jean-Camille Birget|ArXiv.org|2009. 04. 16.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Thompson-Higman 모노이드 $M_{k,i}$를 조사하며, Green의 관계 $\fancyscript{J}$와 $\fancyscript{D}$에 초점을 맞추고, 이러한 관계를 결정하는 데 필요한 계산 복잡도를 규명한다. 표준 생성자에 대해서는 $\fancyscript{J}$-순서가 P에 속하지만, 회로 유사 생성자에 대해서는 coDP-완전하다. 반면 $\fancyscript{D}$-동치는 $\bigoplus_{k-1}\bullet{\rm NP}$-완전하며, 이는 고급 복잡도 클래스가 모노이드의 구조에 미치는 영향을 강조한다.

ABSTRACT

The Thompson-Higman groups G_{k,i} have a natural generalization to monoids M_{k,i}, and inverse monoids Inv_{k,i}. We study some structural features of M_{k,i} and Inv_{k,i} and investigate the computational complexity of decision problems. The main interest of these monoids is their close connection with circuits and circuit complexity. The maximal subgroups of M_{k,1} are isomorphic to the groups G_{k,j} (1 \leq j \leq k-1); so we rediscover all the Thompson-Higman groups within M_{k,1}. The Green relations \leq_J and \equiv_D of M_{k,1} can be decided in deterministic polynomial time when the inputs are words over a finite generating set of M_{k,1}. When a circuit-like generating set is used for M_{k,1} then deciding \leq_J is coDP-complete. The multiplier search problem for \leq_J is xNPsearch-complete, whereas the multiplier search problems of \leq_R and \leq_L are not in xNPsearch unless NP = coNP. Deciding \equiv_D for M_{k,1} when the inputs are words over a circuit-like generating set, is \oplus_{k-1}.NP-complete. For Inv_{k,1} over a circuit-like generating set, deciding \equiv_D is \oplus_{k-1} P-complete.

연구 동기 및 목표

• Thompson-Higman 모노이드 $M_{k,i}$와 그 역원에 해당하는 ${\rm Inv}_{k,i}$의 구조적 성질을 분석하고, 특히 Green의 관계에 초점을 맞춘다.
• 다양한 생성 집합 하에서 $M_{k,1}$에서 $\fancyscript{J}$-순서와 $\fancyscript{D}$-관계를 결정하는 데 필요한 계산 복잡도를 규명한다.
• 해결책의 크기가 다항적으로 유계되지 않을 수 있지만 검증은 다항 시간 내에 가능한 문제를 다룰 수 있도록 일반화된 NPsearch 클래스인 xNPsearch를 도입하고 특성화한다.
• 특히 회로 유사 생성 집합을 통해 모노이드 관계와 회로 복잡도 간의 연결 고리를 설정한다.
• 부분 회로의 이미지 크기 문제와 이미지 크기 모듈로 $h$ 문제의 복잡도가 각각 $\bigcirc\bullet{\rm NP}$-완전과 $\bigoplus_h\bullet{\rm NP}$-완전하다는 것을 보여준다.

제안 방법

• $|A|=k$, $|B|=i$일 때, $BA^*$의 우측 이상이 아닌 이상으로 확장된 우측 이상 준동형사상으로 구성된 $M_{k,i}$를 정의하며, 유일성을 확보하기 위해 필수 등식과 최대 확장을 사용한다.
• 다양한 생성 집합 하에서 $M_{k,1}$ 내의 결정 문제를 coDP 및 $\bigoplus_{k-1}\bullet{\rm NP}$와 같은 알려진 복잡도 클래스에 연결하기 위해 다항 시간 내의 다대일 검색 축소를 사용한다.
• 해결책의 크기가 다항적으로 유계되지 않지만 검증은 다항 시간 내에 가능한 문제를 포괄할 수 있도록 xNPsearch 클래스를 도입한다.
• $\fancyscript{J}$-순서와 $\fancyscript{D}$-관계 문제를 알려진 NP-난이도 문제와의 축소를 통해 연결하고, 검증과 입력-출력 축소를 통해 완전성 결과를 증명한다.
• 이미지 크기 모듈로 $h$ 문제를 분석하기 위해 모듈로 수치 계산 복잡도 클래스를 적용하여 $h \neq 1$일 때 $\bigoplus_h\bullet{\rm NP}$-완전성을 보여준다.
• $\fancyscript{J}$-순서의 승수 검색 문제는 xNPsearch-완전임을 증명하며, $\fancyscript{R}$ 및 $\fancyscript{L}$-순서 문제는 NP = coNP일 경우에만 xNPsearch에 속한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력이 유한 생성 집합 위의 단어일 때, $M_{k,1}$에서 $\fancyscript{J}$-순서를 결정하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 표준 생성 집합이 아닌 회로 유사 생성 집합을 사용할 경우, $M_{k,1}$에서 $\fancyscript{D}$-관계를 결정하는 데 필요한 복잡도는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 $\fancyscript{J}$-순서의 승수 검색 문제는 알려진 복잡도 클래스에 속하는가? 이는 해결책의 구조에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 최근 도입된 xNPsearch 클래스는 해결책 크기가 임의로 커질 수 있는 검색 문제를 어떻게 포괄하는가?
• RQ5 부분 회로의 이미지 크기 및 이미지 크기 모듈로 $h$ 문제는 $\bigcirc\bullet{\rm NP}$ 및 $\bigoplus_h\bullet{\rm NP}$와 같은 수치 계산 복잡도 클래스와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 입력이 유한 생성 집합 위의 단어일 경우, $M_{k,1}$에서 $\fancyscript{J}$-순서를 결정하는 것은 P에 속한다.
• 회로 유사 생성 집합을 사용할 경우, $\fancyscript{J}$-순서를 결정하는 것은 coDP-완전해진다.
• $\fancyscript{J}$-순서의 승수 검색 문제는 xNPsearch-완전하며, 이는 NP = coNP일 경우를 제외하고는 표준 NPsearch에 속하지 않음을 시사한다.
• $\fancyscript{R}$ 및 $\fancyscript{L}$-순서의 승수 검색 문제는 NP = coNP일 경우에만 xNPsearch에 속하지 않으며, 이는 이들이 본질적으로 더 어렵다는 것을 시사한다.
• 회로 유사 생성 집합을 사용할 경우, $M_{k,1}$에서 $\fancyscript{D}$-관계를 결정하는 것은 $\bigoplus_{k-1}\bullet{\rm NP}$-완전하다.
• ${\rm Inv}_{k,1}$에서 회로 유사 생성 집합을 사용할 경우, $\fancyscript{D}$-동치를 결정하는 것은 $\bigoplus_{k-1}{\rm P}$-완전하다.