[논문 리뷰] The Three Dimensional Viscous Camassa-Holm Equations, and Their Relation to the Navier-Stokes Equations and Turbulence Theory

Ciprian Foiaş, Darryl D. Holm외 1명|ArXiv.org|2001. 03. 23.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 28인용 수 49

한 줄 요약

이 논문은 3D 점성 Camassa-Holm (NS-$\alpha$) 방정식에 대해 전역 정칙성과 유한 차원의 구속자 추정을 수립하며, 그 해 동역학이 $\sim (L/\ell_\epsilon)^3$ 개의 자유도에 의해 지배됨을 보여주고 있다—이것은 Landau-Lifshitz 난류 이론과 일치한다. 또한 $\alpha_1 \to 0$일 때 NS-$\alpha$ 모델의 해가 3D 나비에-스토크스 방정식의 약한 해로 수렴함을 증명하여, 이 모델이 레이놀즈 평균화된 나비에-스토크스 유동에 대한 폐쇄 모델로서의 역할을 뒷받침한다.

ABSTRACT

We show here the global, in time, regularity of the three dimensional viscous Camassa-Holm (Lagrangian Averaged Navier-Stokes-alpha) equations. We also provide estimates, in terms of the physical parameters of the equations, for the Hausdorff and fractal dimensions of their global attractor. In analogy with the Kolmogorov theory of turbulence, we define a small spatial scale, \ell_ε, as the scale at which the balance occurs in the mean rates of nonlinear transport of energy and viscous dissipation of energy. Furthermore, we show that the number of degrees of freedom in the long-time behavior of the solutions to these equations is bounded from above by (L/\ell_{epsilon})^3, where L is a typical large spatial scale (e.g., the size of the domain). This estimate suggests that the Landau-Lifshitz classical theory of turbulence is suitable for interpreting the solutions of the NS-alpha equations. Hence, one may consider these equations as a closure model for the Reynolds averaged Navier-Stokes equations (NSE). We study this approach, further, in other related papers. Finally, we discuss the relation of the NS-alpha model to the NSE by proving a convergence theorem, that as the length scale alpha tends to zero a subsequence of solutions of the NS-alpha equations converges to a weak solution of the three dimensional NSE.

연구 동기 및 목표

• 주기적 경계 조건 하에서 3D 점성 Camassa-Holm (NS-$\\\\alpha$) 방정식의 해에 대해 전역 존재성과 정칙성을 수립하는 것.
• 물리적 매개변수에 따라 NS-$\alpha$ 방정식의 전역 구속자의 하우스도르프 및 분수 차원을 추정하는 것.
• 비선형 운동량 이동과 점성 소산 사이의 에너지 균형 척도인 $\ell_\epsilon$를 이용해 자유도 수를 $ (L/\ell_\epsilon)^3 $로 식별함으로써 NS-$\alpha$ 모델을 난류 이론과 연결하는 것.
• $\alpha_1 \to 0$일 때 NS-$\alpha$ 방정식의 해가 3D 나비에-스토크스 방정식의 약한 해로 수렴함을 증명하는 것.

제안 방법

• Sobolev 공간에서의 에너지 추정과 균일한 경계를 사용하여 NS-$\alpha$ 방정식의 해에 대한 전역 정칙성을 증명하는 것.
• Landau-Lifshitz 난류 이론을 적용하여 자유도 수를 $ (L/\ell_\epsilon)^3 $로 해석하는 것. 여기서 $\ell_\epsilon$는 비선형 에너지 이동과 점성 소산이 균형을 이루는 척도로 정의된다.
• Aubin의 컴actness 정리를 사용하여 $\alpha_1 \to 0$일 때 해의 수렴하는 부분수열을 추출하는 것.
• $\alpha_1$에 독립적인 $ \|u_{\alpha_1}\|_{L^2([0,T];V)} $, $ \|u_{\alpha_1}\|_{L^2([0,T];H)} $, 및 $ \|A^{-1} du_{\alpha_1}/dt\|_{L^2([0,T];D(A)')} $에 대한 균일한 추정을 도출하는 것.
• 시간 도함수에 대한 추정을 얻기 위해 방정식 $ \frac{du_{\alpha_1}}{dt} + \nu A u_{\alpha_1} + (I + \alpha_1^2 A)^{-1} \tilde{B}(u_{\alpha_1}, v_{\alpha_1}) = (I + \alpha_1^2 A)^{-1} f $을 사용하는 것.
• 비선형 항 $ \tilde{B}(u_{\alpha_1}, v_{\alpha_1}) $를 제어하기 위해 렘마 1을 적용하여 $ |A^{-1}\tilde{B}| \leq c \lambda_1^{-1/4} \|u_{\alpha_1}\| |v_{\alpha_1}| $를 확보함으로써 균일한 적분 가능성을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3D 점성 Camassa-Holm (NS-$\\\\alpha$) 방정식은 모든 시간 동안 전역적이고 정칙적인 해를 가지는가?
• RQ2 NS-$\alpha$ 방정식의 전역 구속자의 분수 차원과 하우스도르프 차원은 무엇이며, 물리적 매개변수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 장기적 동역학에서 NS-$\alpha$ 방정식의 자유도 수는 $ (L/\ell_\epsilon)^3 $로 추정될 수 있는가? 여기서 $\ell_\epsilon$는 비선형 에너지 이동과 점성 소산이 균형을 이루는 척도이다.
• RQ4 NS-$\alpha$ 모델은 $\alpha_1 \to 0$일 때 3D 나비에-스토크스 방정식의 약한 해로 수렴하는가?

주요 결과

• NS-$\alpha$ 방정식은 모든 시간 동안 전역적이고 정칙적인 해를 가지며, $ |u_{\alpha_1}(t)|^2 + \alpha_1^2 \|u_{\alpha_1}(t)\|^2 \leq k_1 $ 및 $ \nu \int_0^T (\|u_{\alpha_1}(s)\|^2 + \alpha_1^2 |Au_{\alpha_1}(s)|^2) ds \leq \bar{k}_2(T) $와 같은 균일한 경계를 가진다.
• 전역 구속자의 분수 차원과 하우스도르프 차원은 $ (L/\ell_\epsilon)^3 $ 이하로 상한이 둔다. 여기서 $\ell_\epsilon$는 비선형 에너지 이동이 점성 소산과 균형을 이루는 척도이다.
• NS-$\alpha$ 방정식의 장기적 동역학에서의 자유도 수는 $ (L/\ell_\epsilon)^3 $로 추정되며, 이는 Landau-Lifshitz 난류 이론과 일치한다.
• $\alpha_1 \to 0$일 때, 해의 부분수열 $u_{\alpha_1^j}$가 $L^2([0,T];H)$에서 강하게 수렴하고 $L^2([0,T];V)$에서 약하게 수렴하여 함수 $u$로 수렴한다. 이 $u$는 3D 나비에-스토크스 방정식의 약한 해이다.
• $v_{\alpha_1^j} = (I + \alpha_1^2 A)^{-1} u_{\alpha_1^j}$가 $L^2([0,T];V')$에서 강하게 수렴하고 $[0,T]$ 거의 모든 곳에서 수렴하며, $v(t) = u(t)$ 거의 모든 곳에서 성립한다.
• 비선형 항 $\tilde{B}(u_{\alpha_1^j}, v_{\alpha_1^j})$는 $L^2([0,T]; D(A)')$에서 약하게 $B(u,u)$로 수렴하며, 이는 나비에-스토크스 동역학의 극한에서의 일관성을 확인한다.