[논문 리뷰] The Thue choice number versus the Thue chromatic number of graphs

Erika Škrabuľáková|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 11.

Advanced Graph Theory Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 그래프의 Thue 색수 π(G)와 Thue 선택 색수 πₗ(G) 간의 관계를 조사하며, 특히 나무와 분할 그래프와 같은 그래프 가족에서 이러한 매개변수들이 상당히 다를 수 있음을 보여주고 있다. 여기서 πₗ(G)는 최대 차수 ∆에 대해 초선형적으로 증가하지만 π(G)는 유계로 유지된다. 연구는 기존 결과를 종합하고 열린 문제를 규명하며, 일부 그래프 유형에서는 Thue 선택 색수가 Thue 색수보다 임의로 더 클 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We say that a vertex colouring $\varphi$ of a graph $G$ is nonrepetitive if there is no positive integer $n$ and a path on $2n$ vertices $v_{1}\ldots v_{2n}$ in $G$ such that the associated sequence of colours $\varphi(v_{1})\ldots\varphi(v_{2n})$ satisfy $\varphi(v_{i})=\varphi(v_{i+n})$ for all $i=1,2,\dots,n$. The minimum number of colours in a nonrepetitive vertex colouring of $G$ is the Thue chromatic number $\pi (G)$. For the case of vertex list colourings the Thue choice number $\pi_{l}(G)$ of $G$ denotes the smallest integer $k$ such that for every list assignment $L:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}}$ with minimum list length at least $k$, there is a nonrepetitive vertex colouring of $G$ from the assigned lists. Recently it was proved that the Thue chromatic number and the Thue choice number of the same graph may have an arbitrary large difference in some classes of graphs. Here we give an overview of the known results where we compare these two parameters for several families of graphs and we also give a list of open problems on this topic.

연구 동기 및 목표

• 다양한 그래프 가족에서 Thue 색수 π(G)와 Thue 선택 색수 πₗ(G)를 비교하기.
• 특히 πₗ(G)가 π(G)보다 훨씬 빠르게 증가하는 그래프 유형을 식별하기.
• 확률적 및 구축적 방법을 사용한 비반복 정점 색칠과 리스트 색칠에 관한 기존 결과를 조사하기.
• 모든 그래프가 비반복적으로 4-선택 가능인 분할을 갖는지 여부와 같은 열린 문제를 부각하기.
• 특히 정점 및 간선 변형의 Thue 매개변수를 구분하는 데 있어 용어와 표기법을 명확히 하고 표준화하기.

제안 방법

• 특히 나무와 분할 그래프에 대해 πₗ(G)의 상계를 유도하기 위해 확률적 방법을 사용하기.
• 존재성의 보장을 위해 Lovász Local Lemma와 기타 농도 부등식을 적용하여 비반복 리스트 색칠의 존재를 확립하기.
• 경로 폭, 최대 차수, 이분 그래프 구조 등의 그래프 구조적 성질을 분석하여 π(G)와 πₗ(G)의 상한을 구하기.
• Alon 등 (2002), Fiorenzi 등 (2015), Dujmović 등 (2015)의 이전 연구 결과를 검토하고 비교하여 용어와 결과를 통합하기.
• 비반복 색칠 문제의 복잡도를 평가하기 위해 알고리즘 기법을 활용하며, 몬테카를로 알고리즘을 사용해 근사 해를 얻기.
• 경로, 사이클, 별 그래프, 완전 그래프, 평면 그래프 등의 그래프 유형에서 π(G)와 πₗ(G)의 정확한 값과 상한을 조사하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일부 그래프 유형에 대해 Thue 선택 색수 πₗ(G)가 Thue 색수 π(G)보다 임의로 더 클 수 있는가?
• RQ2 모든 그래프가 비반복적으로 k-선택 가능한 분할을 갖는 상수 k가 존재하는가?
• RQ3 나무와 외평면 그래프에 대해 π(G)와 πₗ(G) 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 특정 그래프 유형에 대해 πₗ(G)를 계산하거나 근사하는 다항식 시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 주어진 정점 색칠이 비반복적인지 판단하는 문제의 계산 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• n > 3인 경로 Pₙ에 대해 π(Pₙ) = 3이지만 πₗ(Pₙ) ≤ 4이며, 이는 작지만 비자명한 격차를 보인다.
• 사이클 Cₙ에 대해 n ∉ {5, 7, 9, 10, 14, 17}이면 π(Cₙ) = 3이며, πₗ(Cₙ) ≤ 5이므로 리스트 선택 색수는 유계이다.
• 별 그래프 Sₙ에 대해 π(Sₙ) = 2이자 πₗ(Sₙ) = 2이므로 이 경우에서 두 값은 동일하다.
• 최대 차수 ∆인 나무 T에 대해 π(T) ≤ 4이지만, πₗ(T)는 임의의 ε > 0에 대해 c∆¹⁺ε까지 클 수 있으며, 이는 초선형 증가를 보여준다.
• 완전 그래프 Kₙ에 대해 π(Kₙ) = n이며 πₗ(Kₙ) = n이므로 두 매개변수는 동일하다.
• 완전 이분 그래프 Kₘ,ₙ에 대해 π(Kₘ,ₙ) = min{m,n} + 1이며 πₗ(Kₘ,ₙ) = min{m,n} + 1이므로 동일하다.