[논문 리뷰] The Tits alternative for the automorphism group of a free product

Camille Horbez|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 03.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 56인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성된 군이 자유분해불가능 군들(ℤ와 동형이 아님)과 유한 생성 자유군의 자유곱으로 분해될 때, 각 성분과 그 외부자기동형군이 티츠 대안를 만족하면, 그 외부자기동형군의 티츠 대안를 증명한다. 핵심 결과는 문제를 분해불가능한 성분들로 환원함으로써, 오른쪽-각-아르틴 군과 유한체적 폴리사이클릭 측면 부분군을 가진 퇀장상대적으로 히퍼볼릭 군의 외부자기동형군에 대한 새로운 증명을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let $G=G_1\ast\dots\ast G_k\ast F$ be a countable group which splits as a free product, where all groups $G_i$ are freely indecomposable and not isomorphic to $\mathbb{Z}$, and $F$ is a finitely generated free group. If for all $i\in\{1,\dots,k\}$, both $G_i$ and its outer automorphism group $ ext{Out}(G_i)$ satisfy the Tits alternative, then $ ext{Out}(G)$ satisfies the Tits alternative. As an application, we prove that the Tits alternative holds for outer automorphism groups of right-angled Artin groups, and of torsion-free groups that are hyperbolic relative to a finite family of virtually polycyclic groups.

연구 동기 및 목표

• 특정 구조 조건을 만족하는 자유곱의 외부자기동형군에 대한 티츠 대안를 확립하는 것.
• Out(F_N) 및 매핑 클래스 군에 대한 기존 결과를 자유분해불가능 성분으로 환원함으로써 일반화하는 것.
• 차니와 포그트만이 제기한 오른쪽-각-아르틴 군의 외부자기동형군에 대한 티츠 대안 문제를 해결하는 것.
• 유한체적 폴리사이클릭 측면 부분군을 가진 토션-프리 상대적으로 히퍼볼릭 군의 외부자기동형군에 대해 티츠 대안를 확장하는 것.

제안 방법

• 유한 생성 군을 자유분해불가능 군들과 자유군의 자유곱으로 표현하기 위해 그루슈코 분해를 사용한다.
• 각 자유분해불가능 성분과 그 외부자기동형군에 대해 티츠 대안를 기본 사례로 적용한다.
• 확장, 부분군, 유한지수 상위군, 동형에 대한 티츠 대안의 안정성 성질을 활용한다.
• 구이아르델과 레비에의 상대적으로 히퍼볼릭 군의 외부자기동형군 구조에 관한 결과를 적용한다. 이는 상대적 자동군이 자명한 경우에 해당한다.
• 유한체적 폴리사이클릭 군의 외부자기동형군이 SL_N(ℤ)에 임베딩되므로, 티츠 대안를 만족한다는 사실을 이용한다.
• 측면 부분군에 대한 매핑 클래스 군과 외부자기동형군의 정확열을 활용하여, Out(G)의 연구를 자유분해불가능 군의 경우로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유곱의 외부자기동형군에 대한 티츠 대안는 자유분해불가능 성분들과 그 외부자기동형군의 티츠 대안로부터 유도될 수 있는가?
• RQ2 정의 그래프 Γ에 대한 동차성 가정 없이 오른쪽-각-아르틴 군 A_Γ의 외부자기동형군에 대해 티츠 대안를 확립할 수 있는가?
• RQ3 유한체적 폴리사이클릭 부분군에 대해 상대적으로 히퍼볼릭인 토션-프리 군 G에 대해, Out(G)에 대해 티츠 대안가 성립하는가?
• RQ4 자유곱 및 상대적 히퍼볼릭성과 같은 군론적 구성에서 티츠 대안는 안정적인가?

주요 결과

• G가 유한 생성 군이고 그 그루슈코 분해가 G = G₁⁎…⁎Gₖ⁎F일 때, 각 Gᵢ와 Out(Gᵢ)가 티츠 대안를 만족하면, Out(G)에 대해서도 티츠 대안가 성립한다.
• 이 결과는 유한 생성 자유군 F_N의 외부자기동형군인 Out(F_N)에 대한 티츠 대안를 위한 새로운, 보다 간결한 증명을 제공한다.
• 정의 그래프 Γ에 대한 동차성 조건 없이도, 오른쪽-각-아르틴 군 A_Γ의 외부자기동형군인 Out(A_Γ)에 대해 티츠 대안가 성립한다.
• G가 토션-프리이고 유한 개의 유한체적 폴리사이클릭 부분군에 대해 상대적으로 히퍼볼릭일 경우, Out(G)에 대해 티츠 대안가 성립한다. 이는 유한체적 폴리사이클릭 군의 클래스에 대해 성립한다.
• 유한체적 폴리사이클릭 군의 외부자기동형군은 SL_N(ℤ)에 임베딩되므로, 유한체적 폴리사이클릭 군의 클래스에 대해 티츠 대안를 만족한다.
• Out(G, ℙ)의 유한지수 부분군은 매핑 클래스 군과 측면 부분군의 외부자기동형군의 곱을 포함하는 정확열에 들어가며, 이는 기존의 경우로 환원 가능하게 한다.