[논문 리뷰] The Topological Fundamental Group and Hoop Earring Spaces

Jeremy Brazas|arXiv (Cornell University)|2009. 10. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전체적으로 경로로 연결되지 않은, 하우스도르프이면서 기저가 없는 공간 $X$의 축소 쌍대 뿌리공간으로 정의된 후크 뿌리공간의 위상적 기본군 $\pi_{1}^{\text{top}}$을 계산한다. 이는 루프 공간의 몫사상이 자유 위상 모노이드 $M(X)$를 통해 인벌로션을 갖는 것으로 인해 수행된다. 주요 결과는 $X$가 정규가 아닐 경우 $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$가 $T_1$이지만 위상군이 아니라는 점을 보여주며, 이는 $\pi_{1}^{\text{top}}$가 위상군의 범주로 가는 함자라는 주장에 대한 반례를 제공한다.

ABSTRACT

The topological fundamental group $π_{1}^{top}$ is a topological invariant that assigns to each space a quasi-topological group and is discrete on spaces which are well behaved locally. For a totally path-disconnected, Hausdorff, unbased space $X$, we compute the topological fundamental group of the "hoop earring" space of $X$, which is the reduced suspension of $X$ with disjoint basepoint. We do so by factorizing the quotient map $Ω(ΣX_{+},x) o π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ through a free topological monoid with involution $M(X)$ such that the map $M(X)\shortrightarrow π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ is also a quotient map. $π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ is T1 and an embedding $X\shortrightarrow π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ illustrates that $π_{1}^{top}(ΣX_{+},x)$ is not a topological group when $X$ is not regular. These hoop earring spaces provide a simple class of counterexamples to the claim that $π_{1}^{top}$ is a functor to the category of topological groups.

연구 동기 및 목표

• 전체적으로 경로로 연결되지 않은, 하우스도르프이면서 기저가 없는 공간 $X$의 축소 쌍대 뿌리공간으로 구성된 후크 뿌리공간의 위상적 기본군 $\pi_{1}^{\text{top}}$을 계산하는 것.
• $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$의 위상적 구조를 분석하고 이것이 위상군을 이룬다는지 여부를 판단하는 것.
• 후크 뿌리공간을 사용하여 명시적인 반례를 구성함으로써 $\pi_{1}^{\text{top}}$가 위상군의 범주로 가는 함자라는 주장에 대한 반례를 제시하는 것.
• 기본 루프 공간에서의 몫사상 $\Omega(\Sigma X_{+}, x) \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$가 자유 위상 모노이드와 인벌로션을 갖는 $M(X)$를 통해 인벌로션될 수 있음을 확립하는 것.

제안 방법

• 기본 루프 공간 $\Omega(\Sigma X_{+}, x)$에서 $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$로의 몫사상이 자유 위상 모노이드와 인벌로션을 갖는 $M(X)$를 통해 인벌로션되도록 하는 것. 이때 $M(X)$는 중간 구조로 간주된다.
• $M(X)$를 $X$에 의해 생성되는 자유 위상 모노이드와 인벌로션으로 정의하고, $M(X) \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ 사상이 몫사상이 되도록 위상을 부여한다.
• $X$의 위상적 성질—특히 전체적으로 경로로 연결되지 않음과 하우스도르프성—을 이용해 $\Sigma X_{+}$와 그 루프 공간의 구조를 분석한다.
• 단일점의 닫힘 성질을 분석함으로써 $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$가 $T_1$임을 보여준다.
• $X \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$의 임bedding을 구성함으로써, $X$가 정규가 아닐 경우 그룹 위상이离산이 아님을 보여준다.
• $X$의 정규성 실패를 이용해 $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$가 위상군이 될 수 없음을 증명함으로써, 위상군의 범주로의 함자성의 실패를 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체적으로 경로로 연결되지 않은 하우스도르프 공간 $X$일 때, 후크 뿌리공간 $\Sigma X_{+}$의 위상적 기본군 $\pi_{1}^{\text{top}}$의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 만약 $X$가 정규가 아니면 $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$는 위상군이 되는가?
• RQ3 기본 루프 공간에서의 몫사상 $\Omega(\Sigma X_{+}, x) \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$는 자유 위상 모노이드와 인벌로션을 갖는 $M(X)$를 통해 인벌로션될 수 있는가?
• RQ4 임베딩 $X \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$의 존재가 $X$가 정규가 아닐 경우 $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$가 위상군이 되지 못함을 암시하는가?
• RQ5 후크 뿌리공간은 $\pi_{1}^{\text{top}}$가 위상군의 범주로 가는 함자라는 주장에 대한 반례를 제공하는가?

주요 결과

• $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$는 $T_1$이며, 이는 그룹 위상에서 단일점이 닫혀 있음을 나타낸다.
• $M(X) \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$ 사상은 몫사상이며, 이는 $M(X)$가 $X$ 위에 자유 위상 모노이드와 인벌로션의 위상 몫임을 보여준다.
• $X \to \pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$의 임베딩이 존재함을 보여주며, 이는 $X$가 정규가 아닐 경우 그룹 위상이 이산이 아님을 시사한다.
• $X$가 정규가 아닐 경우 $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$는 위상군이 되지 못하며, 그 이유는 그룹 연산이 유도된 위상에서 연속적이지 않기 때문이다.
• 후크 뿌리공간 $\Sigma X_{+}$는 $\pi_{1}^{\text{top}}$가 위상군의 범주로 가는 함자라는 주장에 대한 반례를 제공한다.
• $M(X)$를 통한 인벌로션은 $\pi_{1}^{\text{top}}(\Sigma X_{+}, x)$의 구조를 이해하는 구체적인 위상 모델을 제공하며, 비정규 경우의 비군 성격을 드러낸다.