[논문 리뷰] The Topology of the $m$-Tamari Lattices

Henri Mühle|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 10.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $m$-Dyck 경로를 이용하여 $m$-Tamari 격자에 대한 새로운 EL-라벨링을 제안하며, 이로써 그들의 EL-쉘러블리티를 증명하고, 모비우스 함수가 \{-1, 0, 1\}의 값들만을 취함을 계산한다. 또한 이러한 격자 내의 간격들이 점 또는 구와 호모토피 동치임을 특성화하여, 경로 기반 조합론을 통해 그들의 위상적 단순성을 확립한다.

ABSTRACT

The $m$-Tamari lattices $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ were recently introduced by Bergeron and Préville-Ratelle as posets on $m$-Dyck paths, and it was shown by Bousquet-Mélou, Fusy and Préville-Ratelle that these lattices form intervals in the classical Tamari lattice $\mathcal{T}_{nm}$. It follows from a theorem by Björner and Wachs and a basic property of EL-shellable posets, that the $m$-Tamari lattices are EL-shellable. In this article, we define a new EL-labeling of the $m$-Tamari lattices completely in terms of $m$-Dyck paths. With the help of this labeling, we compute the values of the Möbius function of $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$, and we characterize the intervals of $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ according to their topological properties.

연구 동기 및 목표

• 모든 내용을 $m$-Dyck 경로의 프레임워크 내에서 완전히 포함하는 $m$-Tamari 격자에 대한 새로운 내재적 EL-라벨링을 제공하는 것.
• 새로운 라벨링과 셸러블리티 성질을 사용하여 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$의 모비우스 함수를 계산하는 것.
• $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 내 간격의 위상적 유형을 그들의 호모토피 동치성에 기반해 특성화하는 것.
• 이전의 왼쪽 모듈러성 또는 트림 격자에 관한 결과에 의존하지 않는, 자가 포함적인 경로 기반의 $m$-Tamari 격자의 위상적 및 대수적 성질에 대한 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• $m$-Dyck 경로의 구조를 이용하여 $m$-Tamari 격자 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$에 대한 새로운 EL-라벨링을 정의하며, Björner와 Wachs의 구성으로부터 일반화한다.
• 새로운 라벨링을 사용하여 모든 $m, n \geq 1$에 대해 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$가 EL-쉘러블리하다는 것을 증명한다.
• $D \subseteq \{2, \dots, n\}$인 부분집합에 대해 $\text{diff}_D(\hat{0})$와 $\text{diff}_D(\hat{1})$를 특성화하며, 이는 $D$로 인덱싱된 위치에서 다름을 보이는 원소들을 의미한다.
• $\hat{0}$에서 $\text{diff}_D(\hat{0})$에 속하는 원소로 향하는 내림차순 체인을, 지정된 위치에서 기본 부분수열을 순차적으로 감소시킴으로써 구성한다.
• $\text{diff}_D(\hat{1})$ 내의 최대 체인 수를 세어 모비우스 함수 $\mu(\mathbf{a}, \hat{1})$를 분석하며, 이 함수가 $D = \emptyset$ 또는 $D = [i,n]$일 때에만 비영이 되는 것으로 밝힌다.
• $|\mathcal{S}_n^{(m)}(\hat{0})| = |\mathcal{S}_n^{(m)}(\hat{1})| = 2^{n-1}$임을 증명하여, 모비우스 함수가 비영인 원소의 수가 맞다는 것을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모비우스 함수의 $m$-Tamari 격자 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 내에서의 구조는 어떠한가?
• RQ2 $m$-Dyck 경로 조합론만을 사용하여 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$의 EL-쉘러블리티를 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 내에서 어떤 간격들이 구 또는 점과 호모토피 동치인가?
• RQ4 모비우스 함수가 비영인 원소의 집합과 $m$-Dyck 경로의 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $m$-Tamari 격자 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$는 모든 양의 정수 $m$과 $n$에 대해 새로운 경로 기반 EL-라벨링에 의해 EL-쉘러블리하다.
• $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$의 모비우스 함수는 \{-1, 0, 1\}의 값들만을 취하며, 모든 간격 $[\mathbf{a}, \mathbf{b}]$에 대해 $\mu(\mathbf{a}, \mathbf{b}) \in \{-1, 0, 1\}$이다.
• $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$의 모든 닫힌 간격은 점 또는 구와 호모토피 동치이며, 이는 모비우스 함수 값과 체인 구조에 의해 확인된다.
• $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 내에서 $\mu(\mathbf{a}, \hat{1}) \neq 0$인 원소 $\mathbf{a}$의 수는 정확히 $2^{n-1}$이며, 마찬가지로 $\mu(\hat{0}, \mathbf{a}) \neq 0$인 원소의 수 역시 $2^{n-1}$이다.
• $D \subseteq \{2, \dots, n\}$이면 $\text{diff}_D(\hat{0})$는 항상 비어 있지 않으며, $\text{diff}_D(\hat{1})$는 $D = \emptyset$ 또는 어떤 $i \geq 2$에 대해 $D = [i,n]$일 때에만 비어 있지 않다.
• $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 내에서 모비우스 함수가 비영인 원소의 총 수는 $2^{n-1}$이며, 이는 $\hat{0}$ 위와 $\hat{1}$ 아래에서 모두 동일하여, 포지트 구조의 대칭성을 확인한다.