[논문 리뷰] The Torelli locus and special subvarieties

B.J. Moonen, Frans J. Oort|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 60인용 수 58

한 줄 요약

이 논문은 주로 쌍대극성 부여된 아벨 다양체의 모듈리 공간 내에서 토렐리 위치(Torelli locus) 안에 있는 특수 부분다양체—특히 시무라 다양체(Shimura varieties)—를 조사한다. 토렐리 사상에 의한 대수적 곡선과 그 재현다양체(Jacobians) 간의 상호작용을 분석하고, 주로 아벨 쌍대 덮개로부터 유도된 양의 차원 특수 부분다양체의 기존 구조를 검토하며, 콜먼의 유한성 추측과 앤드류-오르트 추측과 같은 추측들을 논의한다. 주요 기여는 현재까지의 지식, 열려 있는 문제들, 그리고 낮은 종수를 초월해 이러한 부분다양체의 존재에 대한 기하적 제약 조건을 종합하는 데 있다.

ABSTRACT

We study the Torelli locus T_g in the moduli space A_g of abelian varieties. We consider special subvarieties (Shimura subvarieties) contained in the Torelli locus. We review the construction of some non-trivial examples, and we discuss some conjectures, techniques and recent progress.

연구 동기 및 목표

• 주로 극성 부여된 아벨 다양체의 모듈리 공간 내 토렐리 위치 안에 있는 특수 부분다양체(시무라 다양체)의 구조와 존재를 이해하는 것.
• 토렐리 사상과 그 상(image), 즉 토렐리 위치의 기하학적·산술적 성질을 분석하는 것—특히 CM 점과 표준적 상향(standard lifting)과의 관련성에서.
• 토렐리 위치의 맥락에서 콜먼의 추측과 앤드류-오르트 추측의 타당성을 조사하는 것—특히 큰 종수에서 양의 차원 특수 부분다양체가 토렐리 위치 내에 존재할 수 있는지 여부를 중심으로.
• 표준적 상향이 유지되는지 여부를 결정하는 데 있어 형식적 완비화(formal completion)와 세르-테이트 이론(Serre-Tate theory)의 역할을 탐구하는 것—이는 토렐리 위치의 국소적 구조 이해에 핵심적이다.
• 토로이드형 컴actsfication의 경계에서 토렐리 위치의 행동과 특수 부분다양체의 행동을 비교하며, 변형 이론과 상향 결과의 유사성을 활용한다.

제안 방법

• 모듈리 공간의 곡선에서 아벨 다양체의 모듈리 공간으로의 토렐리 사상(의 이미지, 즉 토렐리 위치)을 연구하기 위해 사용한다.
• 시무라 다양체와 특수 부분다양체 이론을 적용한다. 특수 부분다양체는 심플렉틱 군의 대수적 부분군의 궤적의 상으로 정의되며, 토렐리 위치 내의 부분다양체를 식별하는 데 사용된다.
• 앤드류-오르트 추측과 그 함의, 특히 특수 부분다양체 내에서 CM 점의 조밀성(density)을 분석하여 토렐리 위치 내의 부분다양체의 구조를 연구한다.
• 세르-테이트 이론을 활용해 양의 특성에서 일반적인 아벨 다양체의 표준적 상향을 분석하며, 이러한 상향이 재현다양체로 남는지 여부를 집중적으로 고려한다.
• 양의 특성에서 일반적인 점에서 토렐리 위치의 형식적 완비화를 연구하여, 형식적 부분다원소가 형식적 부분다원소와 동형이 되는지 여부를 탐지함으로써 특수 부분다양체의 존재 여부를 확인한다.
• 드윅과 오거스의 일반적인 아벨 다양체의 표준적 상향 결과와 프레스넬, 반 데르 푸트, 안드레아타의 열화된 곡선에 대한 결과를 비교하며, 모듈리 공간의 경계에서 변형 행동의 유사성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 g > 3일 때, 콜먼의 추측에 따르면, 그 종수의 복소 곡선 중 재현다양체가 CM 아벨 다양체인 것은 유한 개 뿐이지만, 실제로는 어떻게 되는가?
• RQ2 g > 7일 때, A_g의 양의 차원 특수 부분다양체가 토렐리 위치 T_g에 완전히 포함될 수 있는가?
• RQ3 양의 특성에서 일반적인 점에서 토렐리 위치의 형식적 완비화가 형식적 부분다원소와 동형인 평탄한 형식적 부분스킴을 포함하는가? 이는 특수 부분다양체의 존재를 시사한다.
• RQ4 토렐리 위치는 테이히뮐러 거리에서 완전하게 기하학적(geodesic)인가? 아니면 A_g 내에서 양의 차원의 완전 기하학적 부분다양체를 포함하지 않는가?
• RQ5 특히 표준적 상향을 포함한 양의 특성에서 재현다양체의 변형 성질은 토렐리 위치의 기하학적 성질과 토로이드형 컴actsfication의 경계에서 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 콜먼의 추측은 g ∈ {4,5,6,7}일 때 거짓임이 입증되었으며, P^1에 대한 아벨 쌍대 덮개의 명시적 가중족이 토렐리 위치 내에서 양의 차원 특수 부분다양체를 유도함으로써 이를 뒷받침한다.
• g ≥ 4일 때 알려진 토렐리 위치 내의 양의 차원 특수 부분다양체의 모든 예는 고정된 갈루아 군과 모노드로미를 가진 아벨 쌍대 덮개의 가중족에서 유래하며, 브랜치 포인트만 변화시킨다.
• 순환 쌍대 덮개의 경우, 특정 조건 하에서 추가로 이러한 가중족이 특수 부분다양체를 유도하지는 않음이 입증되었다.
• 드윅과 오거스의 연구에 따르면, 양의 특성에서 일반적인 아벨 다양체의 표준적 상향은 일반적으로 재현다양체가 아니며, 이는 토렐리 위치가 일반적인 점의 형식적 이웃에서 선형이 아니라는 것을 시사한다.
• 토로이드형 컴actsfication에서 토렐리 위치의 폐포는 경계에서 선형적이지 않지만, 특수 부분다양체는 선형적 구조를 보이므로 기하학적으로 근본적인 차이가 있음을 시사한다.
• 안드레아타, 프레스넬, 반 데르 푸트의 결과는 일반적으로 열화된 곡선이 재현다양체로 상향되지 않음을 보여주며, 이는 토렐리 위치가 특수 부분다양체와 마찬가지로 변형에 대해 닫혀 있지 않다는 아이디어를 강화한다.