[논문 리뷰] The trace formula and the existence of PEL type Abelian varieties modulo p

Arno Kret|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 03.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 아르틴-라포르트-랑글랑스 추측과 아르틴의 추측을 전제로 하여, 유형 (A) 및 (C)인 PEL 유형 쇠미우라 다양체에서 뉴턴 층의 공집합이 아님을 증명한다. 이는 트레이스 공식을 통해 이루어지며, 기하학적 공집합이 아님을 보장하는 데에 기여한다. 또한 같은 조건 하에 기약 스피너 군의 경우, 특정 헤크 연산자를 구성하여 자동형 표현 공간에서의 트레이스가 0이 아니게 하여, 주어진 p진 호드 구조를 갖는 애벨란 다양체의 존재를 확인한다.

ABSTRACT

We show, using the trace formula, that any Newton stratum of a Shimura variety of PEL-type of types (A) and (C) is non-empty at the primes of good reduction. Furthermore we prove conditionally the non-emptiness for Shimura data associated to odd Spin groups. Our results are conditional on Rapoport-Langlands conjecture and Arthur's conjectures on the discrete spectrum. Both these results have been announced by Arthur and Kisin in significant cases.

연구 동기 및 목표

• 좋은 감마 분포를 갖는 소수에서 PEL 유형 쇠미우라 다양체의 모든 뉴턴 층이 비어 있지 않음을 증명하는 것.
• 심층적인 자동형 형태 이론의 추측을 전제로 하여, 기약 스피너 군과 관련된 쇠미우라 자료로의 비어 있지 않음 결과를 확장하는 것.
• 비틀린 트레이스 공식과 안정적 궤도 적분을 기반으로 한 방법을 수립하여, 뉴턴 층에서 비영인 코hom로지의 존재를 탐지하고 기하학적 비공집합성을 확보하는 것.
• 특정 헤크 연산자를 구성하여 관련 트레이스 공식 표현이 0이 되지 않게 하여, 주어진 디외도네 이소크리스탈 구조를 갖는 애벨란 다양체의 존재를 증명하는 것.
• 군의 준정규 내부형체 G*에 대해, 정확히 선택된 함수에 대한 스티븐버그 표현이 비영인 트레이스를 지닌다는 것을 검증하는 것. 이는 스티븐버그 표현의 성질과 허위계수수의 성질에 기반한다.

제안 방법

• 뉴턴 층의 점 수를 세기 위해 코트비츠 트레이스 공식을 사용한다.
• 왜곡 궤도 적분을 분석하고, 내재된 군으로의 전달을 통해 각 뉴턴 층에 대해 트레이스 공식을 제한한다.
• 단순화된 안정 트레이스 공식을 적용하여, 준정규 내부형체 G*의 귀납적 자동형 표현에 대한 b-절단된 트레이스의 합을 계산한다.
• 다른 모든 기여가 α의 나눗셈 하에 양의 실수 비율을 갖는 유일한 자동형 표현 Π₀이 크게 기여하도록 헤크 연산자 f^p를 선택한다.
• 플랑커르 측도가 양이며, 허위계수수 방법을 사용하여 Tr(χ_b^{G(Q_p)} f_α, Π₀,p)가 0이 아니라는 것을 증명한다.
• 스티븐버그 표현이 선택된 함수에 대해 비영인 트레이스를 지닌다는 것을, 유도된 표현과 파라보릭 부분군으로의 제한을 통해 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 적절한 이소크리스탈 b ∈ B(G_{Q_p}, μ)는 특성 p에서 PEL-구조를 갖는 애벨란 다양체의 유리 디외도네 모듈로로 나타나는가?
• RQ2 PEL 유형 쇠미우라 다양체에서 뉴턴 층의 비공집합성은 트레이스 공식 기반 방법으로 증명될 수 있는가?
• RQ3 자동형 형태와 트레이스 공식 기법을 사용하여, 기약 스피너 군으로의 비공집합성 결과는 어떤 조건에서 확장될 수 있는가?
• RQ4 어떤 헤크 연산자 f^p가 존재하여, 자동형 표현에서의 트레이스 공식 표현이 주어진 뉴턴 층에서 비영인 코호몰로지의 존재를 탐지하는가?
• RQ5 적절한 국소 표현 Π_p에서 Tr(χ_b^{G(Q_p)} f_α, Π_p)의 비영성은 보장될 수 있는가?

주요 결과

• PEL 유형 (A) 및 (C)인 쇠미우라 다양체에서 임의의 b ∈ B(G_{Q_p}, μ)에 대응하는 뉴턴 층은 트레이스 공식과 코트비츠 공식을 통해 비어 있지 않음이 입증된다.
• 심미터리 기반 기약 스피너 군의 경우, 아르틴의 추측과 라포르트-랑글랑스 추측을 전제로 하여 뉴턴 층의 비공집합성이 확립된다.
• 헤크 연산자 f^p가 기여 비율이 양이 되도록 선택되면, 식 (0.1)의 트레이스 공식 표현이 0이 되지 않으며, 이는 비영인 코호몰로지의 존재를 보장한다.
• 준정규 내부형체 G*의 스티븐버그 표현은 함수 f^{G*}에 대해 비영인 트레이스를 지닌다. 이는 비영성 논증에 핵심적이다.
• Tr(f^{G*}, St_{G*})는 비영임이 증명되었으며, 이는 비자명한 H*-입사가 스티븐버그 표현에 존재하고, 허위계수수 트레이스 항등식을 사용하여 입증된다.
• 국소 트레이스 Tr(χ_b^{G(Q_p)} f_α, Π₀,p)가 비영임이 양의 플랑커르 측도와 유니타리 제약 조건을 통해 확인된다.