[논문 리뷰] The tricategory of formal composites and its strictification

Peter Guthmann|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 14.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 형식적 복합체의 트라이카테고리 bT를 도입하며, 이는 임의의 트라이카테고리 T를 그림자로 그린 그레이 카테고리 Tst에서 등가적으로 계산할 수 있는 구조로 엄격한 삼등치를 통해 삽입한다. 1- 및 2-형식의 복합체를 유지하고 엄격한 삼등치를 활용함으로써, 특히 동치 세포를 포함하는 복잡한 트라이카테고리 계산을 더 단순한 리라이팅 기반 계산으로 줄이며, 이는 Globular와 같은 도구를 이용한 형식적 검증을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The results of this thesis allows one to replace calculations in tricategories with equivalent calculations in Gray categories (aka semistrict tricategories). In particular the rewriting calculus for Gray categories as used for example by the online proof assistant globular (arXiv:1612.01093), or equivalently the Gray-diagrams of arXiv:1211.0529 can then be used also in the case of a fully weak tricategory.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 완전히 약한 트라이카테고리에서의 복잡한 계산을 반세엄격 그레이 카테고리에서의 계산으로 감소시켜 단순화하는 것을 목적으로 한다.
• . 표준 트라이카테고리와 그레이 카테고리 간의 삼등치가 엄격하지 않기 때문에 그림자 다이어그램의 구조를 유지하지 못한다는 한계를 다룬다.
• . 핵심 목표는 원래 트라이카테고리 T와 그레이 카테고리 Tst 양쪽에 대해 엄격한 삼등치인 형식적 복합체의 트라이카테고리 bT를 구성하는 것이다.
• . 이는 T에서의 그림자 다이어그램의 등식을 Tst에서 등가적으로 확인할 수 있게 하며, 여기서 대부분의 제약 세포가 항등원이 된다.
• . 이 방법은 Globular의 리라이팅 규칙과 같은 도구를 이용해 일반 트라이카테고리에서의 형식적 추론을 가능하게 한다.

제안 방법

• . bT는 T의 1- 및 2-형식의 복합체를 형식적으로 인코딩하여 구성되며, 동일한 형태의 사상으로 평가되더라도 이를 구분한다.
• . 평가 함자 ev: bT → T는 거의 엄격한 삼등치이다. 즉, 동치 세포를 제외한 모든 구조를 엄격히 유지한다.
• . 두 번째 엄격한 삼등치 [−]: bT → Tst는 bT를 제약 세포가 교환자 이외에는 항등원인 그레이 카테고리 Tst로 매핑한다.
• . 이러한 삼등치의 병합은 T에서 Tst로의 경로를 제공하며, 다이어그램 감소를 가능하게 한다.
• . 이 구성은 T의 그림자 다이어그램이 bT로 유일하게 올라가며, 그 등식이 [−]를 통해 Tst로 유지됨을 보장한다.
• . 이는 Globular에서 흔히 사용되는 리라이팅 다이어그램을 이용한 추론을 완전히 약한 트라이카테고리에서 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 비엄격한 삼등치가 존재하는 완전히 약한 트라이카테고리에서의 그림자 다이어그램 등식은, 그레이 카테고리에서 등가적인 등식으로 감소될 수 있는가?
• RQ2 . 1- 및 2-형식의 복합체를 어떻게 사용하여 원래 트라이카테고리와 그레이 카테고리 양쪽에 대해 엄격한 삼등치를 갖는 트라이카테고리를 구성할 수 있는가?
• RQ3 . T에서 bT로, 그리고 bT에서 Tst로의 전이 과정에서 동치 세포의 역할은 무엇이며, Tst에서는 어떻게 단순화되는가?
• RQ4 . 이 구성을 통해 Globular에서 사용되는 리라이팅 규칙과 같은 계산 체계를 일반 트라이카테고리에 얼마나 널리 적용할 수 있는가?
• RQ5 . [−]: bT → Tst의 엄격한 삼등치는 bT에서의 그림자 다이어그램의 등식을 유지하면서도 그들의 구조를 어떻게 단순화하는가?

주요 결과

• . 형식적 복합체의 트라이카테고리 bT는 원래 트라이카테고리 T와 그레이 카테고리 Tst 양쪽에 대해 엄격한 삼등치이므로, 계산의 엄격한 감소를 가능하게 한다.
• . 평가 함자 ev: bT → T는 거의 엄격한 삼등치이므로, bT에서의 그림자 다이어그램의 등식이 T에서 정확히 등가임을 보장한다.
• . 함자 [−]: bT → Tst는 거의 엄격한 삼등치이므로, bT에서의 등식이 Tst에서 유지되며 대부분의 3-세포가 항등원이 되어 단순화된다.
• . 그 결과, T의 그림자 다이어그램은 리라이팅 다이어그램을 사용해 Tst에서 등가적으로 확인할 수 있으며, 이는 복잡성을 크게 감소시킨다.
• . 이 구성은 biadjunction의 공리와 같은 것을 bT로 올려 Tst에서 단순화함으로써 형식적 검증이 가능하게 한다.
• . 이 방법은 트라이카테고리의 구조를 리라이팅 기반 형식 시스템과 호환되는 형태로 감소시킴으로써, Globular 증명 보조도구를 일반 트라이카테고리에서의 추론에 사용할 수 있게 한다.