[논문 리뷰] The trivial lower bound for the girth of $S_n$

Sean Eberhard|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 29.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 $S_n$ 에서 $d \geq 2$ 개의 균일하게 선택된 원소와 그 역원으로 생성된 무작위 카일리 그래프의 둘레에 대해 비자명한 하한 $\Omega(n^{1/3})$ 을 확립한다. 확률적 군론과 궤적 분석을 사용하여, 자유군 내의 무작위 단어가 $S_n$ 에서 항등원으로 매핑될 확률을 제한함으로써, 길이가 $O(n^{1/3})$ 이하인 단어들에 대해 이러한 관계가 일어나지 않을 것임을 증명하며, 이는 이전에 알려진 것보다 더 강한 하한을 제공한다.

ABSTRACT

Consider the Cayley graph of $S_n$ generated by a random pair of elements $x,y$. Conjecturally, the girth of this graph is $Ω(n \log n)$ with probability tending to $1$ as $n o\infty$. We show that it is at least $Ω(n^{1/3})$.

연구 동기 및 목표

• $d \geq 2$ 개의 무작위 원소와 그 역원으로 생성된 $S_n$ 의 무작위 카일리 그래프의 둘레에 대해 비자명한 하한을 확립하는 것.
• 이전에 주장된 $\Omega(\sqrt{n\log n})$ 둘레 하한에 대한 증명에서의 결함을 수정하는 것.
• 자유군 내의 무작위 단어가 $S_n$ 에서 항등원으로 매핑될 가능성을 철저히 분석하는 것.
• 무작위 단어의 둘레가 높은 확률로 $\Omega\left(\left(\frac{n}{\log(2d-1)}\right)^{1/3}\right)$ 이상임을 보이는 것.

제안 방법

• 무작위 단어가 $\{1,\dots,n\}$ 의 원소에 작용하는 방식을 분석하기 위해 궤적 기반 접근법을 사용하며, 단어 평가에 따른 이미지 시퀀스를 추적한다.
• 이전의 서로 다른 점들에 대한 조건부 확률을 바탕으로, 궤적이 단사적이지 않거나 이전에 방문한 점으로 돌아오는 것을 조건부로 유니언 바운드를 적용하여 확률을 추정한다.
• 단일 단어 $w$ 가 $S_n$ 에서 항등원으로 평가될 확률을 제한하기 위해 $m$ 개의 서로소 궤적의 재귀적 구성 방법을 사용한다.
• 조건 $m < n/k$ 에 대해 핵심 부등식 $P_{S_n}(w) \leq \left(\frac{mk^2}{n - mk}\right)^m$ 을 유도하며, 이는 $m = \lfloor n/(4k^2) \rfloor$ 로 설정함으로써 최적화된다.
• 자유군 내의 짧은 단어 수를 세는 것과 함께 단어 확률 하한을 결합하여, 비자명한 관계가 발생할 총 확률을 제한한다.
• 확률 하한 $P_{S_n}(w) \leq \exp(-cn/k^2)$ 을 사용하여, $k$ 에 대한 지수 감소를 통해 최종 둘레 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $d \geq 2$ 개의 무작위 원소와 그 역원으로 생성된 $S_n$ 의 무작위 카일리 그래프의 둘레에 대해 알려진 최선의 하한은 무엇인가?
• RQ2 논문 [2] 에서 주장한 $\Omega(\sqrt{n\log n})$ 둘레 하한에 대한 증명이 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 완전한 단사성 조건 없이도 궤적 기반 확률적 방법을 사용하여 비자명한 둘레 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ4 길이 $k$ 의 무작위 단어가 $S_n$ 에서 항등원으로 평가될 확률은 $k$ 와 $n$ 에 따라 어떻게 감소하는가?

주요 결과

• 무작위 카일리 그래프 $\operatorname{Cay}(S_n, S)$ 의 둘레는 $n \to \infty$ 일 때 높은 확률로 $\Omega(n^{1/3})$ 이상이다.
• 논문은 $d \geq 2$ 생성자에 대해 $\Omega\left(\left(\frac{n}{\log(2d-1)}\right)^{1/3}\right)$ 의 하한을 확립한다.
• 길이 $k$ 의 무작위 단어 $w$ 가 $S_n$ 에서 항등원으로 평가될 확률은 어떤 상수 $c>0$ 에 대해 $\exp(-cn/k^2)$ 이하이다.
• 이전에 주장된 $\Omega(\sqrt{n\log n})$ 하한에 대한 증명의 결함을 수정하며, 이는 단사성 없이도 시작점으로의 복귀 확률을 제어한다고 잘못 가정한 데 기인한다.
• 이 방법은 단일 궤적의 완전한 단사성을 요구하지 않고, 다수의 서로소 궤적을 추적하고 충돌 또는 복귀 확률을 제한하는 데 의존한다.