[논문 리뷰] The triviality problem for profinite completions

Martin R. Bridson, Henry Wilton|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 10.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한형성된 군이 비자명한 유한 몫군을 가지는지 여부 — 또는 등가적으로 그 프로프라틴 완비화가 자명한지 여부 — 를 결정하는 것이 알고리즘적으로 결정 불가능하다는 것을 증명한다. 저자들은 HNN 확장과 소규모 캐슬링 기법을 사용하여 단어 문제를 프로프라틴 자명성 문제에 인코딩하는 방식으로 이를 입증하며, 이는 초등형 군과 비양의 곡률이 없는 사각형 복합체 군의 범주 내에서도 결정 불가능성을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that there is no algorithm that can determine whether or not a finitely presented group has a non-trivial finite quotient; indeed, this remains undecidable among the fundamental groups of compact, non-positively curved square complexes. We deduce that many other properties of groups are undecidable. For hyperbolic groups, there cannot exist algorithms to determine largeness, the existence of a linear representation with infinite image (over any infinite field), or the rank of the profinite completion.

연구 동기 및 목표

• 유한형성된 군에서 임의의 진부분군이 존재하는지 여부가 알고리즘적으로 결정 가능한지 여부라는 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• 이 결정 불가능성을 초등형 군과 비양의 곡률이 없는 복합체의 기하학적 제약 조건을 가진 군의 범주로 확장하기 위해.
• 특히 초등형 군에서 프로프라틴 완비화의 알고리즘적 한계를 조사하기 위해.
• 특정 군의 범주에서 크기, 무한 선형 표현, 가상의 첫 번째 Betti 수와 같은 성질이 결정 불가능하다는 것을 입증하기 위해.

제안 방법

• 스코브스코이의 결정 불가능한 유한 군의 보편 이론을 사용하여 유한형성된 군의 순환 수열을 구성하기 위해.
• 인코딩 정리 도입: 군의 표현과 단어를 입력으로 받아, 원래 군의 프로프라틴 완비화에서 단어가 자명하다면 새로운 군의 프로프라틴 완비화가 자명해지는 알고리즘.
• HNN 확장과 분할 자유곱을 사용하여 단어 문제의 결정 불가능성을 프로프라틴 자명성 문제에 통합하기 위해.
• 인코딩 정리를 적용하여, 순환 군의 비가역적, 비원소적 초등형 군에서 유한 몫군이 존재하지 않는 군의 수열을 구성하기 위해.
• 잔여 유한성과 유한지수 부분군의 핵의 구조를 활용하여 표현 성질을 군의 확장 간에 전달하기 위해.
• 비잔여 유한 초등형 군의 존재성과 초등형 군에서 프로프라틴 자명성 문제의 결정 불가능성 간의 동치성을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한형성된 군이 진부분군을 가질 수 있는지 여부를 결정하는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 비양의 곡률이 없는 컴act한 사각형 복합체의 기본군에 대해 비자명한 유한 몫군의 존재 여부를 결정할 수 있는가?
• RQ3 초등형 군의 프로프라틴 완비화가 자명한지 여부는 그 군 자체가 자명한지 여부와 동치인가?
• RQ4 초등형 군에서 크기, 무한 선형 표현, 무한 가상의 첫 번째 Betti 수와 같은 성질은 결정 가능한가?
• RQ5 비가역적 초등형 군의 범주에서도 프로프라틴 자명성 문제의 결정 불가능성은 여전히 성립하는가?

주요 결과

• 유한형성된 군이 진부분군을 가질 수 있는지 여부를 결정하는 알고리즘이 존재하지 않으며, 이는 비양의 곡률이 없는 컴act한 사각형 복합체의 기본군에 대해서도 마찬가지다.
• 유한형성된 군에서 프로프라틴 자명성 문제의 결정 불가능성은, 어떤 군의 프로프라틴 완비화가 자명한지 여부를 결정할 수 없다는 의미다.
• 유한형성된 군에서 유한 차원 선형 표현 중 무한한 이미지를 가지는 것이 존재하는지 여부는 결정 불가능하며, 이는 비양의 곡률이 없는 사각형 복합체의 기본군에 대해서도 마찬가지다.
• 초등형 군에서는 비자명한 유한 몫군의 존재 여부가 결정 불가능하며, 이는 비잔여 유한 초등형 군의 존재성과 동치이다.
• 가상의 첫 번째 Betti 수와 크기 성질은 초등형 군에서 결정 불가능하며, 이는 무한 선형 표현의 존재와 관련되어 있다.
• 논문은 프로프라틴 자명성의 결정 불가능성이 비가역적 초등형 군의 설정에서도 유지됨을 입증하였으며, 이러한 군들은 허수 하이퍼볼릭 공간 내의 균일 격자 위에서 소규모 캐슬링을 통해 구성될 수 있음을 보였다.