[논문 리뷰] The Tur\'an number of blow-ups of trees

Andrzej Grzesik, Oliver Janzer외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 15.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Erdős가 1967년에 제기한 r-비가역 이분 그래프에 대한 Turán 수 추측을 두 가지 핵심 케이스에서 증명한다: 복잡도가 2 이하인 완전한 r-비가역 이분 그래프와 트리의 블로우업. 보조 그래프 위에서 초과포화와 새로운 랜덤 워크 기법을 사용하여, 이러한 그래프의 Turán 수가 O(n^{2−1/r})임을 입증함으로써 이전 결과를 일반화하고, 모든 트리 블로우업 포함한 넓은 범위의 r-비가역 이분 그래프에 대해 추측을 확인한다.

ABSTRACT

A conjecture of Erd\\H{o}s from 1967 asserts that any graph on $n$ vertices which does not contain a fixed $r$-degenerate bipartite graph $F$ has at most $Cn^{2-1/r}$ edges, where $C$ is a constant depending only on $F$. We show that this bound holds for a large family of $r$-degenerate bipartite graphs, including all $r$-degenerate blow-ups of trees. Our results generalise many previously proven cases of the Erd\\H{o}s conjecture, including the related results of F\\"uredi and Alon, Krivelevich and Sudakov. Our proof uses supersaturation and a random walk on an auxiliary graph.

연구 동기 및 목표

• Erdős(1967)가 제기한 r-비가역 이분 그래프의 Turán 수에 대한 오랜 동안 미해결된 추측을 해결하기 위해.
• 트리의 블로우업과 같은 r-비가역 이분 그래프의 주요 클래스에 대해 알려진 극값 그래프 함수의 경계를 확장하기 위해.
• Füredi 및 Alon–Krivelevich–Sudakov의 결과를 일반화하기 위해, 더 넓은 그래프 가족에 대해 추측된 O(n^{2−1/r}) 경계를 증명하기 위해.
• 보조 그래프 위에서 초과포화와 랜덤 워크를 사용하여 하위그래프 임bedding을 제어하는 일반적 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 호스트 그래프의 정점 r-집합을 정점으로 하는 보조 그래프 G를 구성하며, 공통 이웃을 통해 간선을 정의한다.
• 초과포화를 사용하여 밀도가 높은 보조 그래프 G가 목표 그래프 F의 많은 복제본을 포함하도록 보장한다.
• 보조 그래프 위에서 랜덤 워크를 적용하여 트리의 블로우업에서 호스트 그래프로의 단사 호모모르피즘을 찾는다.
• 모든 r-비가역 트리 블로우업을 부분그래프로 포함하는 구조화된 그래프 클래스인 (r,t)-블로우업 트리를 정의한다.
• 트리 크기의 귀납법을 사용하여, 각 블로우업의 독립집합을 블로우업 트리 구조의 지정된 집합에 임베드한다.
• 도수 조건과 확률적 경계를 활용하여, 무작위 매핑이 높은 확률로 충돌을 피함을 보여, 단사성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 r-비가역 트리 블로우업의 Turán 수는 추측된 O(n^{2−1/r}) 경계를 만족하는가?
• RQ2 Erdős의 r-비가역 이분 그래프에 대한 추측은 트리의 블로우업과 저복잡도 그래프로 확장될 수 있는가?
• RQ3 랜덤 워크와 초과포화를 사용하여 보조 그래프 위에서 블로우업 그래프를 구조화된 호스트 그래프에 임베드할 수 있는 일반적 방법이 존재하는가?
• RQ4 Turán 수 ex(n, F[r])는 F의 Turán 수 ex(n, F)로 표현될 수 있으며, 지수는 1/r 비율로 스케일링되는가?

주요 결과

• 복잡도가 2 이하인 모든 완전한 r-비가역 이분 그래프의 Turán 수는 O(n^{2−1/r})이다.
• 각 정점이 크기가 r인 독립집합으로 대체된 r-블로우업 트리 T[r]의 Turán 수는 O(n^{2−1/r})이다.
• 모든 r-비가역 트리 블로우업은 적절한 t에 대해 어떤 (r,t)-블로우업 트리의 부분그래프이다. 이는 구조화된 임베딩을 가능하게 한다.
• r-집합의 보조 그래프 G 위에서의 랜덤 워크는 G로의 단사 호모모르피즘을 양의 확률로 유도하며, 이는 원래 그래프에 블로우업의 사본이 존재함을 시사한다.
• 이 방법은 트리에 대해 추측 3.1를 확인하며, ex(n, F) = O(n^{2−α})이면 ex(n, F[r]) = O(n^{2−α/r})임을 보여준다.
• 이 경계는 트리의 블로우업에 대해 최적이며, 완전이분그래프 K_{s,t}[r] = K_{rs,rt}의 경우에도 성립함을 확인하여 이 경우에도 추측을 확인한다.