[논문 리뷰] The turnpike with lack of observability

Darío Pighin, Noboru Sakamoto|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 28.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 33인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 상태 관측 가능성에 제한이 있을 경우, 보완된 안정가능성 및 감지 가능성 조건 하에서 선형 제곱 최적 제어 문제에 대한 터널피크 성질을 수립한다. 관측 가능한 모드가 안정가능한 한, 전체 제어 및 관측 상태에서 터널피크 현상이 성립함을 보이며, 전체 감지 가능성 없이도 성립함을 증명한다. 또한 고정된 종단 조건 하에서 약한 Hautus 유형 조건을 통해 비관측 모드에 대한 터널피크 행동을 특성화한다.

ABSTRACT

We obtain turnpike results for optimal control problems with lack of stabilizability in the state equation and/or detectability in the state term in the cost functional. We show how, under weakened stabilizability/detectability conditions, terminal conditions may affect turnpike phenomena. Numerical simulations have been performed to illustrate the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 비용 함수에서 상태의 관측 가능성에 제한이 있을 경우 선형 제곱 최적 제어 문제에서 터널피크 성질의 타당성을 조사하는 것.
• 터널피크 현상이 전체 제어 및 관측 상태에서 여전히 성립하는 약화된 안정가능성 및 감지 가능성 조건을 규명하는 것.
• 시스템의 전반적인 관측 가능성 또는 안정가능성이 없을 경우 종단 조건이 터널피크 행동에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 해밀턴 행렬이 비관측 불안정 모드로 인해 순수 허수 고유값을 가질 수 있는 경우에도 고전적 터널피크 이론을 확장하는 것.
• 열 방정식 및 파동 방정식과 같은 PDE 제어 시스템에서 이론적 결과의 수치적 검증을 위한 시뮬레이션 수행

제안 방법

• 자유 종단점 문제에서 상태 공간을 감지 가능한 부분공간과 비감지 가능한 부분공간으로 분리하기 위해 칼만 분해를 사용한다.
• 최적성 시스템과 그 해를 연구하기 위해 해밀턴 시스템과 해밀턴 행렬의 스펙트럼 분석을 적용한다.
• 비관측 모드가 터널피크 성질을 방해하지 않는 조건을 특성화하기 위해 약한 Hautus 테스트를 활용한다.
• 해밀턴의 안정, 불안정, 임계 부분공간으로의 분해를 통해 최적 제어 및 상태의 시간 진화를 분석한다.
• 스펙트럼 성질을 이용하여 해의 안정 및 불안정 성분의 노름을 유계화함으로써 지수적 터널피크 추정을 유도한다.
• 열 방정식 및 파동 방정식에 결과를 적용하기 위해 유한 차원 푸리에 모드로 투영하고, 제어 및 관측 지점에서 고유함수 조건을 점검한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비용 함수에서 상태가 부분적으로 관측 가능할 경우, 터널피크 성질이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비관측이지만 불안정한 모드가 존재할 경우, 고정된 종단 조건을 가진 최적 제어 문제에서 터널피크 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 시스템이 고전적 의미에서 감지 가능하거나 안정가능하지 않더라도 터널피크 성질을 여전히 보장할 수 있는가?
• RQ4 관측 가능성에 제한이 있을 경우 종단 조건이 터널피크 현상의 발생 또는 억제에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 특히 순수 허수 고유값을 포함하는 해밀턴 행렬의 스펙트럼 성질이 최적 궤도의 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 자유 종단점 케이스에서, 관측 가능한 모드가 안정가능한 한 전체 제어 및 관측 상태에서 터널피크 성질이 성립하고, 감지 가능성 조건 없이도 성립한다.
• 포텐셜이 있는 열 방정식의 경우, 관측 지점에서 비영인 고유함수가 제어 지점에서 비영이거나 안정 모드에 해당하는 경우 터널피크 성질이 성립한다.
• 파동 방정식의 경우, 제어 지점에서 영이 되는 모든 고유함수가 관측 지점에서도 영이 되는 경우 터널피크 성질이 성립한다.
• 고정된 종단점 케이스에서, 비관측 모드가 임계가 아니면 전체 제어 및 상태에서 터널피크 성질이 성립한다. 즉, 자유 동역에서 순수 허수 고유값을 가지지 않는 경우이다.
• 비관측 모드로 인해 해밀턴 행렬이 순수 허수 고유값을 가질 경우, 제어 및 관측 상태는 지수적 터널피크 행동를 보이며, 비관측 상태는 지수적으로 작은 잔여항까지 선형적으로 시간에 따라 증가한다.
• 수치적 시뮬레이션은 이론적 조건이 약한 관측 가능성 조건 하에서도 최적 궤도가 안정 상태 해로 빠르게 수렴함을 확인한다.