[논문 리뷰] The undecidability of joint embedding and joint homomorphism for hereditary graph classes

Samuel Braunfeld|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 28.

semigroups and automata theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한한 유도 부분그래프 집합으로 정의된 유전적 그래프 클래스에 대해 연합 임bedding 성질(JEP)과 연합 호모모르피즘 성질(JHP)의 결정불가능성을 증명한다. 결정불가능한 타일링 문제로의 환원을 통해, 저자는 JEP와 JHP가 정확히 타일링 해의 존재와 대응되는 그래프 클래스를 구성한다. 이는 일반적으로 이러한 성질을 결정할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that the joint embedding property is undecidable for hereditary graph classes, via a reduction from the tiling problem. The proof is then adapted to show the undecidability of the joint homomorphism property as well.

연구 동기 및 목표

• 유한한 유도 부분그래프 집합으로 정의된 유전적 그래프 클래스에 대해 연합 임베딩 성질(JEP)의 결정가능성을 판단하는 것.
• 동일한 유전적 그래프 클래스에서 연합 호모모르피즘 성질(JHP)의 결정가능성을 조사하는 것.
• 기존의 보편 가산 그래프에 대한 결정불가능성 결과를 JEP 및 JHP 설정으로 확장하는 것.
• 순열 클래스와 단조 그래프 클래스에서 원자성과 보편성에 대한 열린 질문을 다루는 것.

제안 방법

• 유한한 유도 부분그래프 제약 조건을 가진 그래프에 격자와 타일의 구조를 인코딩하여 결정불가능한 타일링 문제를 연합 임베딩 문제로 환원하는 것.
• 격자와 타일링 시스템을 각각 나타내는 두 개의 표준 그래프 $A^*$와 $B^*$를 단항 술어를 사용하여 구조적 제어를 하는 방식으로 구성하는 것.
• 연합 임베딩이 유효한 타일링 해를 인코딩하도록, 금지된 유도 부분그래프를 통해 제약 조건을 부과하는 것.
• 콤���터성 정리를 사용하여 유한한 JEP를 가산 구조에 대한 JEP와 동치로 만듦으로써 모형이론적 추론을 가능하게 하는 것.
• 제약 조건 하에서 공통 구조로의 호모모르피즘이 반드시 임베딩이 되어야 한다는 점을 보여주어 증명을 연합 호모모르피즘 성질로 적응하는 것.
• 풍부한 언어(단항 술어 포함)를 순수한 그래프 언어로 변환하는 인코딩 기법을 적용하여 결정불가능성을 유지하는 것.

Figure 1: A portion of the canonical models $A^{*}$ and $B^{*}$ , with the grid points in $A^{*}$ tiled by tiles attached to grid points with the same coordinates in $B^{*}$ . Path points are blue, with the origin a different shade. Grid points are red, their $y$ -coordinate determined by an orange

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 유한한 유도 부분그래프 집합에 대해, 이에 대응하는 유전적 그래프 클래스가 연합 임베딩 성질을 갖는지를 결정하는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 주어진 유한한 유도 부분그래프 집합에 대해, 이에 대응하는 유전적 그래프 클래스가 연합 호모모르피즘 성질을 갖는지를 결정하는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ3 그래프에 사용된 방법을 응용하여, 유한 기반 순열 클래스에서 원자성의 결정불가능성을 보일 수 있는가?
• RQ4 금지된 비유도 부분그래프로 정의된 단조 그래프 클래스에 대해 연합 임베딩 성질은 결정가능한가?
• RQ5 JEP의 결정불가능성 결과를 금지된 순열로 정의된 유전적 순열 그래프 클래스로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 유도 부분그래프 집합으로 정의된 유전적 그래프 클래스에 대해 연합 임베딩 성질은 결정불가능하다.
• 동일한 유전적 그래프 클래스에 대해 연합 호모모르피즘 성질 역시 결정불가능하다.
• 결정불가능성은 기존에 결정불가능한 것으로 알려진 타일링 문제로의 환원을 통해 확립된다.
• 증명은 먼저 단항 술어를 포함한 풍부한 언어에서 수행되며, 이후 인코딩 기법을 통해 순수한 그래프 언어로 환원된다.
• 구성은 두 개의 특정 그래프 $A^*$와 $B^*$의 연합 임베딩이 정확히 타일링 문제의 해와 대응되도록 보장한다.
• 결과적으로, 어떤 유전적 그래프 클래스가 보편적인 가산 구조를 갖는지를 결정할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않음을 시사한다.