[논문 리뷰] The unitary polar factor Q=U minimizes norm{Log(Q^* Z)}^2 and norm{sym Log(Q^* Z)}^2 in the spectral norm in any dimension and the Frobenius matrix norm in three dimensions

Patrizio Neff, Yuji Nakatsukasa외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 13.

Matrix Theory and Algorithms인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차원에서 스펙트럴 노름으로, 그리고 세 차원에서 프로베누스 노름으로, 모든 유니터리 행렬에 대해 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 및 그 대칭 부분 $\|\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 를 최소화하는 유니터리 폴라 인자 $Q = U$ 가 $Z = UH$ 의 폴라 분해에서 최소화됨을 증명한다. 이 결과는 행렬 로그와 트레이스 부등식을 사용하여 지오데식 거리의 관점에서 $Z$ 에 가장 가까운 직교 행렬로 $U$ 를 정립한다.

ABSTRACT

The unitary polar factor $Q=U$ in the polar decomposition of the matrix $Z=UH$ is the minimizer for both $\| \mathrm{Log}(Q^* Z)\|^2$ and its Hermitian part $\| \mathrm{sym Log}(Q^* Z)\|^2$ over both $\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$, for any given invertible matrix $Z$ in $\mathbb{C}^{n imes n}$ and any matrix logarithm $\mathrm{Log}$, not necessarily the principal logarithm $\mathrm{log}$. We prove this for the spectral matrix norm in any dimension and for the Frobenius matrix norm in two and three dimensions. The result shows that the unitary polar factor is the nearest orthogonal matrix to $Z$ not only in the normwise sense, but also in a geodesic distance. The derivation is based on Bhatia's generalization of Bernstein's trace inequality for the matrix exponential and a new sum of squared logarithms inequality.

연구 동기 및 목표

• 모든 가역 행렬 $Z$ 에 대해 행렬 로그를 통한 지오데식 유사 거리 정의가 가능한 유니터리 폴라 인자 $U$ 가 최적임을 증명하는 것.
• 노름 기반 거리 외에도 지오데식 및 로그 행렬 노름을 포함한 가장 가까운 직교 행렬 개념을 확장하는 것.
• 비주요 로그를 사용하여 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 와 $\|\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 의 최소화를 증명하는 것.
• 결과가 모든 차원에서 스펙트럴 노름으로, 그리고 $n=2,3$ 에서 프로베누스 노름으로 성립함을 보여주는 것.
• 최소화 결과를 증명하기 위해 필요한 새로운 제곱 로그 합 부등식을 유도하고, 행렬 지수에 대한 베르슈타인의 트레이스 부등식을 일반화하는 것.

제안 방법

• 행렬 지수에 대한 비타의 일반화된 베르슈타인 트레이스 부등식을 사용하여 로그 노름을 유계로 제한한다.
• 로그 행렬 표현식의 트레이스를 제어하기 위해 새로운 제곱 로그 합 부등식을 도입한다.
• 주로 사용되지 않는 로그가 아닌 임의의 로그를 사용하여 행렬 로그 $\mathrm{Log}(Q^*Z)$ 를 분석한다.
• 지오데식 기하학적 구조를 포괄하기 위해 전체 로그와 그 대칭 부분 $\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)$ 를 모두 고려한다.
• 스펙트럴 및 프로베누스 행렬 노름을 사용하여 다양한 행렬 노름에서 최소화를 평가한다.
• 로그 편차의 제곱 노름을 최소화함으로써 $Q = U$ 가 최적임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 가역 행렬 $Z$ 에 대해, 모든 유니터리 행렬 $Q$ 에 대해 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 가 최소화되는가?
• RQ2 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 의 최소화자와 $\|\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 의 최소화자가 동일한가?
• RQ3 이 최소화 결과가 모든 차원에서 스펙트럴 노름으로, $n=2,3$ 에서 프로베누스 노름으로 성립하는가?
• RQ4 비주요 행렬 로그를 사용하여 이 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ5 최소화 결과를 증명하기 위해 필요한 새로운 부등식은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 차원 $n$ 에서 스펙트럴 노름으로, 유니터리 행렬 $Q$ 전역에서 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 를 최소화하는 것은 유니터리 폴라 인자 $U$ 이다.
• 세 차원에서는 프로베누스 노름에서도 $U$ 가 $\|\mathrm{Log}(Q^*Z)\|^2$ 를 최소화한다.
• 동일한 조건 하에서 스펙트럴 및 프로베누스 노름 모두에서 대칭 부분 $\mathrm{sym}\,\mathrm{Log}(Q^*Z)$ 에 대해서도 동일한 최소화가 성립한다.
• 결과는 주요 로그 외에도 임의의 행렬 로그 $\mathrm{Log}$ 에 대해 성립한다.
• 증명은 새로운 제곱 로그 합 부등식과 행렬 지수에 대한 일반화된 트레이스 부등식에 의존한다.
• 유니터리 폴라 인자 $U$ 는 행렬 로그를 통한 지오데식 유사 거리 정의의 유일한 최소화자이다.