[논문 리뷰] The Universal Fragment of Presburger Arithmetic with Unary Uninterpreted Predicates is Undecidable

Matthias Horbach, Marco Voigt외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 03.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 단일의 이元적 단항 술어를 추가한 프레스버거 산술의 순수하게 전칭화된 조각이 결정불가능함을 증명한다. 이는 두 카운터 기계의 정지 문제를 이 조각 내에서 불만족가능성으로 감소시킴으로써 이루어지며, 핵심 기여는 이 제한된 언어에서 불만족가능성의 Σ⁰₁-완전성 확립으로, 존재 기호나 함수 기호 없이도 결정불가능성이 성립함을 보여준다.

ABSTRACT

The first-order theory of addition over the natural numbers, known as Presburger arithmetic, is decidable in double exponential time. Adding an uninterpreted unary predicate to the language leads to an undecidable theory. We sharpen the known boundary between decidable and undecidable in that we show that the purely universal fragment of the extended theory is already undecidable. Our proof is based on a reduction of the halting problem for two-counter machines to unsatisfiability of sentences in the extended language of Presburger arithmetic that does not use existential quantification. On the other hand, we argue that a single $\\forall\\exists$ quantifier alternation turns the set of satisfiable sentences of the extended language into a $\\Sigma^1_1$-complete set. Some of the mentioned results can be transfered to the realm of linear arithmetic over the ordered real numbers. This concerns the undecidability of the purely universal fragment and the $\\Sigma^1_1$-hardness for sentences with at least one quantifier alternation. Finally, we discuss the relevance of our results to verification. In particular, we derive undecidability results for quantified fragments of separation logic, the theory of arrays, and combinations of the theory of equality over uninterpreted functions with restricted forms of integer arithmetic. In certain cases our results even imply the absence of sound and complete deductive calculi.

연구 동기 및 목표

• 프레스버거 산술에 이원적 술어를 추가한 경우의 결정가능한 조각과 결정불가능한 조각 사이의 격차를 메우기 위해.
• 이 확장된 이론의 순수 전칭 조각이 여전히 결정가능한지, 아니면 결정불가능해지는지 확인하기 위해.
• 이원적 술어가 존재할 경우 결정가능한 조각과 결정불가능한 조각의 경계를 명확히 하기 위해.
• 이 결정불가능성 결과가 분리 논리나 배열 이론과 같은 검증 논리에 어떤 영향을 미치는지 평가하기 위해.
• 양자화자 교환을 포함한 조각들에 대해 타당하고 완전한 추론 계산법의 존재를 검토하기 위해.

제안 방법

• 두 카운터 기계의 정지 문제를 단일의 이원적 단항 술어를 갖는 프레스버거 산술의 순수 전칭 조각 내 불만족가능성으로 감소시킨다.
• 기계의 상태를 정수 삼중체 (상태, 카운터1, 카운터2)로 표현하고, 도달 가능한 상태를 나타내기 위해 단일 이원적 술어 P를 사용한다.
• 전이와 초기/최종 상태를 표현하기 위해 전적으로 전칭 기호와 선형 산술 제약 조건을 사용하는 문장을 구성한다.
• 시간적 순서와 정지 조건을 표현하기 위해 보조 상수 d와 e를 도입하여 존재 기호를 피한다.
• 구성 상태의 연속적 순서를 추적하는 수정된 인코딩을 사용하여 재귀성과 정지 행동을 공식화할 수 있도록 한다.
• 정렬된 실수 도메인으로의 적응을 통해 실수 위의 선형 산술로 결과를 이전하여 결정불가능성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일의 이원적 단항 술어를 갖는 프레스버거 산술의 순수 전칭 조각은 결정가능한가?
• RQ2 전체 확장의 결정불가능성이 순수 전칭 조각 자체에 기인하는가?
• RQ3 확장된 언어에서 단일 ∀∃ 양자화자 교환을 갖는 문장의 만족가능성 문제의 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 이 결정불가능성 결과는 정렬된 실수 위의 선형 산술에 단일 이원적 단항 술어를 추가한 경우에도 확장되는가?
• RQ5 이 결정불가능성 결과는 자동 추론과 분리 논리, 배열 이론과 같은 검증 논리에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 단일의 이원적 단항 술어를 갖는 프레스버거 산술의 순수 전칭 조각은 결정불가능하며, 불만족가능한 문장의 집합이 Σ⁰₁-완전하기 때문이다.
• 결정불가능성 결과는 홉스 조건문에 대해서도 성립하여, 복잡한 논리적 구조 때문이 아니라는 점을 보여준다.
• 단일 ∀∃ 양자화자 교환을 갖는 문장의 만족가능성 문제는 Σ¹₁-난이도를 지닌다. 이는 할퍼른의 이전 결과를 강화한다.
• 결정불가능성 결과는 정렬된 실수 위의 선형 산술에 단일 이원적 단항 술어를 추가한 경우에도 그대로 적용된다.
• 순수 전칭 및 순수 존재 조각에 대해 반증적으로 완전한 추론 계산법이 존재하지만, 제약 없는 ∀∃ 교환을 포함한 조각에는 그러한 계산법이 존재하지 않는다.
• 결과는 일부 분리 논리, 배열 이론, 등가성과 제한된 정수 산술의 조합에 대해 결정불가능성이 성립하며, 타당하고 완전한 증명 체계가 존재하지 않을 수 있음을 암시한다.