[논문 리뷰] The universal Hopf algebra associated with a Hopf-Lie-Rinehart algebra

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|2008. 02. 26.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기저 대수에 호프 대수 구조가 호환되게 부여된 리-린하르트 대수의 일반화인 호프-리-린하르트 대수의 개념을 도입한다. 이는 유니버설 대수 구조가 자연스럽게 비알지 또는 호프 대수 구조를 갖게 되며, 고전적인 리 대수의 유니버설 포함 대수의 호프 대수 성질을 더 넓은 리-린하르트 설정으로 일반화함을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce a notion of Hopf-Lie-Rinehart algebra and show that the universal algebra of a Hopf-Lie-Rinehart algebra acquires an ordinary Hopf algebra structure.

연구 동기 및 목표

• 리 대수의 유니버설 포함 대수의 잘 알려진 호프 대수 구조를 더 일반적인 리-린하르트 대수 설정으로 확장하기 위해.
• 리-린하르트 대수의 유니버설 대수가 코승법과 코유니트를 갖기 위한 필요 대수 조건을 규명하기 위해.
• 이러한 구조를 위한 자연스러운 프레임워크로 호프-리-린하르트 대수의 개념을 도입하고 체계화하기 위해.
• 코암비텐트 호프 대수가 그들의 원소의 원소들에 대한 포함 대수임을 보여주는 고전 결과를 리-린하르트 맥락으로 일반화하기 위해.
• 기저 대수 위의 호프 대수 구조와 모듈 위의 리-린하르트 대수 구조 사이의 호환성 탐구하기 위해.

제안 방법

• 호프-리-린하르트 대수의 전구로, 호환되는 리-린하르트 및 비알지 대수 구조를 요구하는 이중-리-린하르트 대수의 개념을 도입하기 위해.
• 기저 대수 $A$가 리-린하르트 대수 $L$ 위의 $A$-모듈 작용과 리 괄호와 호환되는 호프 대수 구조를 갖는 리-린하르트 대수로 호프-리-린하르트 대수를 정의하기 위해.
• 유니버설 대수 $\mathrm{U}(A,L)$를 텐서 대수 $T_A(L)$의 두측 이상으로 생성된 이상에 대한 몫으로 구성하기 위해. 관계는 $\alpha \otimes a - a \cdot \alpha - \alpha(a)$ 형태이며, $\alpha \in L$, $a \in A$.
• 텐서 대수의 유니버설 성질과 $A$ 및 $L$ 위의 대각선 사상에 의해 유도된 $\Delta: \mathrm{U}(A,L) \to \mathrm{U}(A,L) \otimes_A \mathrm{U}(A,L)$를 정의하기 위해.
• 기저 대수의 코유니트와 $L$ 위의 자명한 작용을 사용하여 $\varepsilon: \mathrm{U}(A,L) \to R$를 정의하고, 대수 구조와의 호환성을 확보하기 위해.
• 코승법과 코유니트가 비알지 공리계를 만족하고, 적절한 조건 하에서 항등원이 존재함을 검증하여 호프 대수 구조를 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리-린하르트 대수 $(A,L)$의 유니버설 대수 $\mathrm{U}(A,L)$가 언제 호프 대수 구조를 갖는가?
• RQ2 리 대수 $\mathfrak{g}$에 대해 $\mathrm{U}(\mathfrak{g})$에 존재하는 고전적 호프 대수 구조가 리-린하르트 대수의 경우로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 기저 대수 $A$에 어떤 추가 구조가 필요하여 $\mathrm{U}(A,L)$에 비알지 또는 호프 대수 구조를 올릴 수 있는가?
• RQ4 리-린하르트 대수의 유니버설 대수에 $A$-모듈과 리 대수의 구조를 모두 존중하는 코승법을 부여할 수 있는가?
• RQ5 쌍대성과 유한 생성 프로젝티브 모듈의 역할은 코승법을 호프 대수 구조로 확장할 때 어떤가?

주요 결과

• 기저 대수가 호프 대수인 호프-리-린하르트 대수 $(A,L)$의 유니버설 대수 $\mathrm{U}(A,L)$는 $A$가 호프 대수일 경우 자연스럽게 비알지 구조를 갖는다.
• $\mathrm{U}(A,L)$ 위의 코승법은 $A$와 $L$ 위의 대각선 사상에 의해 유도되며, 텐서 대수의 유니버설 성질을 통해 확장된다.
• $\mathrm{U}(A,L)$ 위의 코유니트는 $A$의 코유니트와 $L$ 위의 자명한 작용에 의해 유도되며, 필요한 호환 조건을 만족한다.
• 기저 대수가 호프 대수이고, $L$이 $A$의 대각선과 호환되는 작용을 할 경우, 유도된 유니버설 대수 $\mathrm{U}(A,L)$는 호프 대수로 된다.
• 이 구성은 고전적인 결과를 일반화한다: 리 대수의 유니버설 포함 대수는 코암비텐트 호프 대수이다.
• 논문은 이중성과 유한 생성 프로젝티브 가정에서 유도된 사상 $L \to L \otimes L$에 의해 코승법을 변형하면 새로운 비알지 구조를 얻을 수 있을 것이라 추측하지만, 명시적 예는 제시하지 않는다.