[논문 리뷰] The Universal Lie $\infty$-Algebroid of a Singular Foliation

Camille Laurent-Gengoux, Sylvain Lavau외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 02.

Spinal Hematomas and Complications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특이적이고 미분형식의 일반화된 리 ∞-아르바이드를 도입한다. 이는 특이적 리만 다양체의 기하학적 성질과 호로노미를 유일하게(호모토피를 제외한) 캐릭터라이즈하는 고차원 아르바이드이다. 이는 컴팩트 다양체 위의 특이적 미분형식에 대해 기하적 해석의 존재를 증명하고, 동일한 미분형식을 유도하는 모든 다른 리 ∞-아르바이드가 이 보편적 기하학적 기반을 통해 유일하게 인코딩됨을 보여준다. 또한 앤드로울리다키스와 스카단리스의 호로노미 군집을 복원하고, 각 리만 표면에 대해 고차원 브라켓을 포함한 새로운 불변량으로서의 등질 리 ∞-대수를 정의한다.

ABSTRACT

We consider singular foliations ${\cal F}$ as locally finitely generated $ {\mathscr O}$-submodules of $ {\mathscr O}$-derivations closed under the Lie bracket, where ${\mathscr O}$ is the ring of smooth, holomorphic, or real analytic functions on a correspondingly chosen manifold. We first collect and/or prove several results about the existence of resolutions of such an ${\cal F}$ in terms of sections of vector bundles. For example, these exist always on a compact smooth manifold $M$ if ${\cal F}$ admits real analytic generators. We show that every complex of vector bundles $(E_\bullet,\dd)$ over $M$ providing a resolution of a given singular foliation ${\cal F}$ in the above sense admits the definition of brackets on its sections such that it extends these data into a Lie $\infty$-algebroid. This Lie $\infty$-algebroid, including the chosen underlying resolution, is unique up to homotopy and, moreover, every other Lie $\infty$-algebroid inducing the given ${\cal F}$ or any of its sub-foliations factors through it in an up-to-homotopy unique manner. We therefore call it the universal Lie $\infty$-algebroid of ${\cal F}$. It encodes several aspects of the geometry of the leaves of ${\cal F}$. In particular, it permits us to recover the holonomy groupoid of Androulidakis and Skandalis. Moreover, each leaf carries an isotropy Lie $\infty$-algebra structure that is unique up to isomorphism. It extends a minimal isotropy Lie algebra, that can be associated to each leaf, by higher brackets, which give rise to additional invariants of the foliation. As a byproduct, we construct an example of a foliation ${\cal F}$ generated by $r$ vector fields for which we show by these techniques that, even locally, it cannot result from a Lie algebroid of the minimal rank $r$.

연구 동기 및 목표

• 특이적 미분형식에 대해 보편 리 ∞-아르바이드 기하학을 수립하여, 리 아르바이드를 특이적 상황으로 일반화한다.
• 컴팩트 다양체 위의 특이적 미분형식에 대해 실해석적 생성자를 가진 기하적 해석(벡터 번들의 복합체)의 존재를 증명한다.
• 모든 이러한 해석이 호모토피를 제외한 유일한 리 ∞-아르바이드 기하학으로 확장될 수 있음을 보여준다.
• 이 보편 기하학이 동일한 미분형식 또는 그 부분 미분형식을 유도하는 모든 다른 리 ∞-아르바이드를 호모토피를 제외한 유일한 방식으로 인코딩함을 보여준다.
• 앤드로울리다키스와 스카단리스의 호로노미 군집을 복원하고, 각 리만 표면에 대해 고차원 불변량으로서의 등질 리 ∞-대수를 정의한다.

제안 방법

• O-미분형식의 국소적으로 유한생성된 O-부분모듈로서 특이적 미분형식을 정의한다. 여기서 O는 매끄럽거나 해석적 또는 실해석적 함수의 링이다.
• 컴팩트 다양체 M 위에서 벡터 번들의 복합체 (E•, d)로 구성된 기하적 해석을 정의한다. 복합체의 길이는 최대 dim M + 1 이하이다.
• 각 해석에 대해 섹션에 브라켓을 도입하여, 고차원 브라켓의 변형과 코homological 기법을 사용해 리 ∞-아르바이드로 확장한다.
• 리 ∞-아르바이드의 호모토피 이론을 사용하여 보편성을 증명한다: F 또는 부분 미분형식을 유도하는 임의의 리 ∞-아르바이드는 호모토피를 제외한 보편적 기하학을 통해 인코딩된다.
• 보편 리 ∞-아르바이드에서 E-경로와 E-경로의 호모토피를 정의하여 기본 군집을 구성한다.
• 보편 리 ∞-아르바이드의 기본 군집이 앤드로울리다키스와 스카단리스의 호로노미 군집의 보편 커버와 동형임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 특이적 미분형식은 컴팩트 매끄러운 다양체 위에서 최대 dim M + 1 길이의 기하적 해석을 갖는가?
• RQ2 모든 특이적 미분형식의 기하적 해석은 유일하게 호모토피를 제외한 리 ∞-아르바이드 기하학으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 동일한 특이적 미분형식을 유도하는 모든 다른 리 ∞-아르바이드를 유일하게(호모토피를 제외한) 인코딩하는 보편 리 ∞-아르바이드가 존재하는가?
• RQ4 특이적 미분형식의 호로노미 군집은 그 보편 리 ∞-아르바이드의 기본 군집으로부터 복원될 수 있는가?
• RQ5 특이적 미분형식의 각 리만 표면에서 등질 리 ∞-대수의 기하학적 기반으로서 고차원 불변량은 무엇인가?

주요 결과

• 컴팩트 매끄러운 다양체 위에서 실해석적 국소 생성자를 갖는 모든 특이적 미분형식은 최대 dim M + 1 길이의 기하적 해석을 갖는다.
• 특이적 미분형식 F의 모든 기하적 해석 (E•, d)는 호모토피를 제외한 유일한 리 ∞-아르바이드 기하학으로 확장될 수 있다.
• F의 보편 리 ∞-아르바이드는 호모토피를 제외한 유일성이 보장되며, F 또는 그 부분 미분형식을 유도하는 모든 다른 리 ∞-아르바이드를 보편적으로 인코딩한다.
• 보편 리 ∞-아르바이드의 기본 군집은 앤드로울리다키스와 스카단리스의 호로노미 군집의 보편 커버와 동형이다.
• 각 리만 표면은 고차원 브라켓을 포함한 고유한 등질 리 ∞-대수 기하학을 지니며, 최소 등질 리 대수의 확장으로서 유일하게 정의된다.
• 논문은 최소 랭크 r인 리 아르바이드에서 국소적으로 유도되지 않는 r개의 벡터장으로 생성된 특이적 미분형식을 구성하여, 고차원 아르바이드 기하학의 필요성을 입증한다.