[논문 리뷰] The Universality of Zipf's Law for Time-Dependent Rank-Based Random Systems

Ricardo T. Fernholz, Robert Fernholz|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 01.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 순위 기반 랜덤 시스템, 특히 지브라트의 법칙을 따르거나 이에 어긋나는 시스템이 어떤 조건에서 Zipf의 법칙 또는 일반화된 준Zipf형 분포를 생성하는지 규명한다. 반세미마팅게일 시스템에서의 보존성과 완전성이 보장될 경우, 점점이 Zipf형 또는 준Zipf형 분포로 수렴함을 보여주며, 이는 다양한 실제 시스템에서 법칙의 보편성을 설명한다.

ABSTRACT

We characterize the conditions under which rank-based systems of continuous semimartingales generate an asymptotic size distribution that satisfies Zipf's law. For a system that follows the strong form of Gibrat's law, with growth rates and volatilities that do not vary across rank, these conditions require that the system be conservative and complete, and are satisfied by many large systems of time-dependent ranked observations. We generalize Zipf's law to a less restrictive form in which a log-log plot of size versus rank does not have to be a straight line of slope -1, but rather has a tangent line of slope -1 at some point. Under certain regularity conditions, we show that the same conditions of conservation and completeness imply that rank-based systems that deviate from Gibrat's law in a specific but realistic manner generate an asymptotic size distribution that is quasi-Zipfian. Because many real-world systems that follow the strong form of Gibrat's law satisfy Zipf's law, and even more systems that do not follow the strong form of Gibrat's law are quasi-Zipfian, our results offer an explanation for the universality of Zipf's law.

연구 동기 및 목표

• 연속 반세미마팅게일의 순위 기반 시스템이 어떤 조건에서 점점이 Zipf의 법칙을 만족하는 점점적 크기 분포를 생성하는지 규명하는 것.
• 로그-로그 그래프에서 크기 대 순위의 관계가 완벽한 직선이 아니라 특정 점에서 기울기가 -1인 탄성 직선을 가지는 경우를 허용함으로써 Zipf의 법칙을 일반화한 준Zipf형으로 확장하는 것.
• 성장률과 변동성이 순위에 독립적인 강력한 형태의 지브라트의 법칙에서 벗어나는 시스템이 특정 현실적인 변형을 겪더라도 보존성과 완전성 조건을 만족할 경우 여전히 준Zipf형 분포를 생성하는지 조사하는 것.
• 실제 세계의 시스템에서 Zipf의 법칙이 널리 관찰되는 이유를 확률적 역학에서의 보존성과 완전성 같은 구조적 성질과 연결지어 설명하는 것.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 순위 기반 시스템을 연속 반세미마팅게일로 모델링하여 장기적인 크기 분포 행동을 분석하는 것.
• 성장률과 변동성이 순위에 영향을 받지 않는 강력한 형태의 지브라트의 법칙을 기반으로 하여 Zipf의 법칙 유도를 위한 조건을 도출하는 것.
• 크기 대 순위의 로그-로그 그래프에서 기울기가 -1인 탄성 직선을 특정 점에서 가지는 것을 允許함으로써 일반화된 준Zipf형 법칙을 도입하는 것.
• 보존성과 완전성이 보장될 경우, 지브라트의 법칙이 근사적으로만 만족되더라도 Zipf형 또는 준Zipf형 분포가 나타나는 데 필요한 충분조건이자 필수 조건임을 입증하는 것.
• 지브라트의 법칙에서의 편차에 대한 규칙성 조건을 도입하여, 성장률과 변동성의 비균일한 변화가 이루어지는 현실적인 편향 조건에서도 준Zipf형 행동이 유지됨을 보여주는 것.
• 반세미마팅게일 역학의 극한 정리와 확률적 미적분을 활용하여 시스템의 점점적 크기 분포 행동을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변화하는 연속 반세미마팅게일의 순위 기반 시스템이 어떤 조건에서 점점이 Zipf의 법칙을 만족하는 분포를 생성하는가?
• RQ2 로그-로그 그래프에서 크기 대 순위의 관계가 기울기가 -1인 완벽한 직선이 아닌 경우, Zipf의 법칙은 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 시스템이 강력한 형태의 지브라트의 법칙에서 제대로 제어된 현실적인 방식으로 벗어날 경우 크기 분포는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 많은 시스템이 엄밀히 지브라트의 법칙을 따르지 않음에도 불구하고 Zipf의 법칙이 왜 실세계 시스템에서 널리 관찰되는가?
• RQ5 보존성과 완전성이 시스템에서 Zipf형 또는 준Zipf형 행동이 나타나는 데 얼마나 중요한가?

주요 결과

• 강력한 형태의 지브라트의 법칙에 더하여 보존성과 완전성이 보장될 경우, 순위 기반 반세미마팅게일 시스템의 점점적 크기 분포는 Zipf의 법칙을 따르게 된다.
• 크기 대 순위의 로그-로그 그래프에서 특정 점에서 기울기가 -1인 탄성 직선을 가지는 경우, 전체 관계가 완벽한 선형이 아니더라도 일반화된 준Zipf형 법칙이 도출된다.
• 지브라트의 법칙에서 특정한 현실적인 방식으로 벗어나도 보존성과 완전성 조건을 만족할 경우 여전히 준Zipf형 분포가 생성된다.
• 보존성과 완전성 조건은 순위 기반 시스템에서 Zipf형 또는 준Zipf형 행동이 나타나는 데 있어 필수적이고도 충분한 조건이다.
• 다양한 실제 세계 시스템에서 Zipf의 법칙이 널리 관찰되는 것은 많은 시스템이 엄밀히 지브라트의 법칙을 따르지 않더라도 보존성과 완전성이 보장되어 있기 때문이다.
• 이 이론적 프레임워크는 도시 크기, 기업 크기, 어휘 빈도 등에서 관측된 엄밀한 Zipf형 행동과 더 넓은 준Zipf형 패턴을 모두 설명할 수 있다.