[논문 리뷰] The Unpolarized and Polarized Single-Mass Three-Loop Heavy Flavor Operator Matrix Elements $A_{gg, Q}$ and $Delta A_{gg, Q}$

Jakob Ablinger, Arnd Behring외 6명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Electron Spin Resonance Studies인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 단일 무거운 쿼크 질량에 대해 비극성 및 극성 경우 모두에서 완전한 3-loop 질량이 있는 글루온 연산자 행렬 원소 $A_{gg,Q}$ 와 $ abla A_{gg,Q}$ 를 고급 기호적 및 해석적 기법을 사용하여 계산한다. 결과는 멜린 $N$-공간과 운동량 분율 $x$-공간에서 표현되며, 유한한 이항합과 역이항합, 제곱근 기반 알파벳에 대한 반복 적분, 복소 평면으로의 해석적 계속을 포함한다. 이는 3-loop 단계에서 단일 및 이중질량 변수 맛 수치 모형 체계(VFNS)에서 글루온 전이 행렬원소를 완성한다.

ABSTRACT

We calculate the gluonic massive operator matrix elements in the unpolarized and polarized cases, $A_{gg,Q}(x,μ^2)$ and $ΔA_{gg,Q}(x,μ^2)$, at three-loop order for a single mass. These quantities contribute to the matching of the gluon distribution in the variable flavor number scheme. The polarized operator matrix element is calculated in the Larin scheme. These operator matrix elements contain finite binomial and inverse binomial sums in Mellin $N$-space and iterated integrals over square root-valued alphabets in momentum fraction $x$-space. We derive the necessary analytic relations for the analytic continuation of these quantities from the even or odd Mellin moments into the complex plane, present analytic expressions in momentum fraction $x$-space and derive numerical results. The present results complete the gluon transition matrix elements both of the single- and double-mass variable flavor number scheme to three-loop order.

연구 동기 및 목표

• 단일 무거운 쿼크 질량에 대해 비극성 및 극성 경우에서 3-loop 질량이 있는 연산자 행렬원소 $A_{gg,Q}$ 와 $\Delta A_{gg,Q}$ 를 계산하는 것.
• 단일 및 이중질량 경우 모두에서 변수 맛 수치 모형 체계(VFNS)에서 3-loop 단계에서 글루온 전이 행렬원소를 완성하는 것.
• 멜린 $N$-공간과 운동량 분율 $x$-공간에서의 해석적 표현을 도출하며, 이는 유한한 이항합과 역이항합, 제곱근 기반 알파벳에 대한 반복 적분을 포함한다.
• 멜린 모멘트를 복소 평면으로 해석적으로 계속시키고 정밀한 물리현상 분석을 위한 수치 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• 계산은 차분 링 이론에 기반한 기호적 합산 기법을 사용하며, Sigma, EvaluateMultisums, SumProduction, HarmonicSums 패키지를 활용한다.
• 방법은 일반화된 하이퍼기하함수, 멜린-바른스 적분, 상미분방정식, 알름키스트-지르버 알고리즘을 조합하여 문제를 중첩된 합으로 축소한다.
• 결과는 멜린 $N$-공간에서 동기화된 합-곱 표현으로 표현되며, 함수적 관계를 통해 해석적 계속이 유도된다.
• 두 다이어그램에 대해서는 $x$-공간에서 직접 문제를 해결하고, $x$-공간 결과로부터 $N$-공간 표현을 재구성한다.
• 특수한 마스터 적분 기반에 의존하지 않고, 직접 합산 및 적분 기법에 의존한다.
• 최종 표현은 수치적 검증과 기존의 2-loop 결과 및 양자역학적 기대와의 교차 검증을 통해 검증된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일질량 근사에서 질량이 있는 글루온 연산자 행렬원소 $A_{gg,Q}$ 와 $\Delta A_{gg,Q}$ 의 해석적 3-loop 표현은 무엇인가?
• RQ2 이 OME의 멜린 모멘트는 물리적 응용을 위해 복소 평면으로 해석적으로 계속될 수 있는가?
• RQ3 $x$-공간 표현의 구조는 반복 적분과 유한한 이항합의 측면에서 어떻게 되어 있는가?
• RQ4 결과는 변수 맛 수치 모형 체계(VFNS)에서 글루온 분포의 3-loop 매칭을 어떻게 완성하는가?
• RQ5 현상물리적 응용을 위한 유도된 해석적 표현의 수치 정밀도와 효율성은 어떠한가?

주요 결과

• 단일 무거운 쿼크 질량에 대해 3-loop 비극성 및 극성 연산자 행렬원소 $A_{gg,Q}$ 와 $\Delta A_{gg,Q}$ 가 계산되었으며, 이는 3-loop 단계에서 단일 및 이중질량 VFNS에서 글루온 전이 행렬원소를 완성한다.
• 멜린 $N$-공간에서의 결과는 유한한 이항합과 역이항합을 포함한 동기화된 합-곱 표현으로 표현되며, 복소 $N$-평면으로의 해석적 계속이 유도된다.
• $x$-공간에서 결과는 제곱근 기반 알파벳에 대한 반복 적분으로 주어지며, 길이 때문에 컴퓨터에서 읽을 수 있는 보조 파일에 전체적인 구조가 제공된다.
• 결과의 수치 평가는 빠르고 정밀한 표현을 통해 달성되어 고정밀 현상물리적 응용이 가능하다.
• 결과는 3루프에서 기대되는 이환도와 OME의 구조를 확인하며, 다양한 순서와 체계 간의 일致성 검증을 통과한다.
• 계산은 완전히 해석적이며 마스터 적분 기반에 의존하지 않으며, 전용 소프트웨어 패키지에 구현된 기호적 합산 및 적분 기법에 의존한다.