[논문 리뷰] The unramified inverse Galois problem and cohomology rings of totally imaginary number fields

Magnus Carlson, Tomer M. Schlank|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 06.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 에탈 코hom로지에서 고차 호모토피 이론적 차단 조건을 도입하여, 완전한 핵을 가진 임bedding 문제를 해결하고, 이를 비분비 역갈로스 문제에 적용한다. 무한한 수의 전체 허수 이차 수체에 대해, $\operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2))$는 그 정수환의 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-코호몰로지 링을 계산함으로써, 비분비 갈로아 군으로 실현될 수 없다. 이는 그 최대 가환 몫은 실현 가능하나, 비가환 부분은 불가능함을 의미한다.

ABSTRACT

We employ methods from homotopy theory to define new obstructions to solutions of embedding problems. By using these novel obstructions we study embedding problems with non-solvable kernel. We apply these obstructions to study the unramified inverse Galois problem. That is, we show that our methods can be used to determine that certain groups cannot be realized as the Galois groups of unramified extensions of certain number fields. To demonstrate the power of our methods, we give an infinite family of totally imaginary quadratic number fields such that $ ext{Aut}( ext{PSL}(2,q^2))$ for $q$ an odd prime power, cannot be realized as an unramified Galois group over $K,$ but its maximal solvable quotient can. To prove this result, we determine the ring structure of the étale cohomology ring $H^*( ext{Spec }\mathcal{O}_K;\mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z})$ where $\mathcal{O}_K$ is the ring of integers of an arbitrary totally imaginary number field $K.$

연구 동기 및 목표

• 프로파이니트 갈로아 군에서의 임베딩 문제에 대한 새로운 차단 조건을 개발하며, 특히 고전적 방법이 실패하는 비아벨리안 핵을 가진 경우에 초점을 맞춘다.
• 이러한 차단 조건을 비분비 역갈로스 문제에 적용하여, 어떤 유한군이 수체의 비분비 확대의 갈로아 군으로 나타날 수 있는지를 규명한다.
• 전체 허수 수체 $ K $에 대해 $ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $의 링 구조를 계산하여 코호몰로지 기반의 차단 조건을 가능하게 한다.
• 홀수 소수 거듭제곱 $ q $에 대해 $ \operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2)) $는 일부 전체 허수 이차 수체에서는 비분비 갈로아 군으로 실현될 수 없지만, 그 최대 가환 몫은 실현 가능함을 보인다.

제안 방법

• 고차 차단 조건 $ o_n^a \in H^{n+1}(\Gamma, H_n(P,A)) $를 $ n \geq 2 $에 대해 구성하여, 아벨 핵에 대한 고전적 $ H^2 $ 차단 조건을 비아벨 핵으로 일반화한다.
• 교환 모듈을 사용하여 $ n=2 $의 차단 조건 $ o_2^a \in H^3(\Gamma, H_2(P,A)) $를 체계적으로 구성함으로써, 전체 호모토피 이론적 장비를 피한다.
• 전체 허수 수체 $ K $의 비분비 갈로아 군 $ \Gamma_K^{ur} $에 대해 차단 이론을 적용하며, $ H^1(\Gamma_K^{ur}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $의 구조를 활용한다.
• 에탈 코호몰로지 링 $ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $의 링 구조를 $ \operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}_X, \mathbb{G}_{m,X})^\sim $와의 딱딱함을 통해 계산하며, 이를 이상 계수군과 노름 사상과 연결한다.
• 아르틴 상호법칙과 이상 계수군의 노름 사상으로, 쿠퍼 곱 $ x \cup x \cup y $가 언제 0이 되는지를 규명하여 비자명한 코호몰로지 클래스를 탐지한다.
• 노름 사상 $ N_{L|K}: \operatorname{Cl}(L) \to \operatorname{Cl}(K) $의 상에 대한 조건을 통해 $ x \cup x \neq 0 $이 되는 조건을 제시하며, 코호몰로지와 이상의 산술적 성질을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 코호몰로지 차단 조건은 프로파이니트 갈로아 군에서 완전한 핵을 가진 임베딩 문제의 비해결성을 탐지할 수 있는가?
• RQ2 어떤 전체 허수 수체 $ K $ 에서 $ \operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2)) $ 가 비분비 갈로아 군으로 실현 가능한가?
• RQ3 임의의 전체 허수 수체 $ K $ 에 대해 $ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ 의 코호몰로지 링의 구조는 어떠한가?
• RQ4 이상 계수군의 산술 조건이 쿠퍼 곱 $ x \cup x \cup y $ 가 $ H^3 $ 에서 0이 되거나 0이 아니게 되는 데 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이상 계수군에서의 노름 사상 $ N_{L|K} $ 가 실패할 경우, $ H^2 $ 의 비자명한 코호몰로지 클래스와 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 $ n \geq 2 $ 에 대해 $ o_n^a \in H^{n+1}(\Gamma, H_n(P,A)) $ 의 새로운 가족을 구성하여, 고전적 $ H^2 $ 차단 조건을 비아벨 핵으로 확장한다.
• 홀수 소수 거듭제곱 $ q $ 에 대해, $ \operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2)) $ 는 $ H^1(\Gamma_K^{ur}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $ 이고 이상 계수군에서의 노름 상이 진부한 경우를 만족하는 모든 전체 허수 이차 수체 $ K $ 에서 비분비 갈로아 군으로 실현될 수 없다고 증명한다.
• 모든 전체 허수 수체 $ K $ 에 대해 $ H^*(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ 의 링 구조가, Ext 군과의 딱딱함 및 아르틴 상호법칙을 통해 완전히 규명된다.
• $ x \cup x \in H^2(\Gamma_K^{ur}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) $ 는 $ \operatorname{Cl}(K) $ 의 어떤 2- torsion 이상 계수군 원소가 $ N_{L|K}: \operatorname{Cl}(L) \to \operatorname{Cl}(K) $ 의 상에 속하지 않을 때에만 비자명하다.
• $ x \cup x \cup y $ 의 쿠퍼 곱은 정확히 $ \operatorname{div}(d)/2 $ 가 노름 사상의 상에 있을 때 0이 되며, 이는 해당 이상 계수군에 대한 아르틴 기호가 0이 되는 것과 동치이다.
• 최대 가환 몫인 $ \operatorname{Aut}(\operatorname{PSL}(2,q^2)) $ 는 동일한 수체에서 비분비 갈로아 군으로 실현 가능하므로, 차단 조건이 군의 비가환 부분에 특화되어 있음을 보여준다.