[논문 리뷰] The values of zeta functions composed by the Hurwitz and periodic zeta functions at integers

Takashi Nakamura|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 05.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정수 인자에서 히르체츠 및 주기적 제타 함수로 구성된 제타 함수의 대수적 및 산술적 성질을 조사한다. 특정 조합이 음의 정수 및 양의 짝수/홀수 정수에서 평가될 경우 유리수, $2\pi/q$의 삼각함수 다항식, 또는 $\exp(2\pi i a)$의 유리함수로 나타나며, 이 모든 것들은 유리 계수를 가진다. 핵심 결과로는 $Z(s, |a|)$가 정 stationar자 self-similar 가우시안 과정의 스펙트럼 밀도와 관련이 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

For $s \in {\mathbb{C}}$ and $0 < a <1$, let $ζ(s,a)$ and ${ m{Li}}_s (e^{2πia})$ be the Hurwitz and periodic zeta functions, repectively. For $0 < a \le 1/2$, put $Z(s,a) := ζ(s,a) + ζ(s,1-a)$, $P(s,a) := { m{Li}}_s (e^{2πia}) + { m{Li}}_s (e^{2πi(1-a)})$, $Y(s,a) := ζ(s,a) - ζ(s,1-a)$ and $O(s,a):= -i \bigl( { m{Li}}_s (e^{2πia}) - { m{Li}}_s (e^{2πi(1-a)}) \bigr)$. Let $n \ge 0$ be an integer and $b := r/q$, where $q>r>0$ are coprime integers. In this paper, we prove that the values $Z(-n,b)$, $π^{-2n-2} P(2n+2,b)$, $Y(-n,b)$ and $π^{-2n-1} O(2n+1,b)$ are rational numbers, in addition, $π^{-2n-2} Z(2n+2,b)$, $P(-n,b)$, $π^{-2n-1} Y(2n+1,b)$ and $O(-n,b)$ are polynomials of $\cos (2π/q)$ and $\sin (2π/q)$ with rational coefficients. Furthermore, we show that $Z(-n,a)$, $π^{-2n-2} P(2n+2,a)$, $Y(-n,a)$ and $π^{-2n-1} O(2n+1,a)$ are polynomials of $0

연구 동기 및 목표

• 히르체츠 및 주기적 제타 함수가 정수 인자에서 형성하는 제타 함수의 특수값의 대수적 성격을 규명하는 것.
• 음의 정수 및 양의 정수에서 $Z(s,a)$, $P(s,a)$, $Y(s,a)$, $O(s,a)$의 산술적 구조를 특성화하는 것.
• 이러한 값들이 유리 계수를 가진 삼각함수와 지수 합의 다항식 형태로 명시적인 대수적 표현을 제공하는 것.
• 정 stationar자 self-similar 가우시안 과정의 스펙트럼 밀도와 $Z(s, |a|)$를 연결하는 것.

제안 방법

• 대칭 및 반대칭 조합 정의: $Z(s,a) = \zeta(s,a) + \zeta(s,1-a)$, $P(s,a) = \text{Li}_s(e^{2\pi i a}) + \text{Li}_s(e^{2\pi i (1-a)})$, $Y(s,a) = \zeta(s,a) - \zeta(s,1-a)$, $O(s,a) = -i(\text{Li}_s(e^{2\pi i a}) - \text{Li}_s(e^{2\pi i (1-a)}))$.
• 베르누이 수 및 제2종 스타링 수의 알려진 특수값을 이용하여 $\zeta(-n,a)$ 및 $\text{Li}_{-n}(e^{2\pi i a})$를 평가하는 것.
• 함수 방정식과 해석적 계속을 적용하여 결과를 양의 정수로 확장하는 것.
• 대수적 수론과 삼각항등식을 이용하여 값들을 $\cos(2\pi/q)$, $\sin(2\pi/q)$, $\exp(2\pi i a)$의 형태로 표현하는 것.
• 유리수 $b = r/q$에 대해 $\pi^{-2n-2}Z(2n+2,b)$, $P(-n,b)$, $\pi^{-2n-1}Y(2n+1,b)$, $O(-n,b)$가 모두 유리 계수를 가진 다항식 또는 유리함수임을 증명하는 것.
• $\sum_{n \in \mathbb{Z}} |n + \alpha|^{-s} = Z(s, |\alpha|)$라는 항등식을 통해 $Z(s,a)$가 정 stationar자 self-similar 가우시안 분포의 스펙트럼 밀도로 나타남을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리수 $b = r/q$에 대해 $Z(-n,b)$, $P(2n+2,b)$, $Y(-n,b)$, $O(2n+1,b)$의 대수적 성격은 무엇인가?
• RQ2 $\pi^{-2n-2}Z(2n+2,a)$, $P(-n,a)$, $\pi^{-2n-1}Y(2n+1,a)$, $O(-n,a)$는 $a \in (0,1)$에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 $P(s,a) \equiv 0$이 모든 $0 < a < 1/2$에 대해 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 정 stationar자 self-similar 가우시안 과정의 스펙트럼 밀도는 $Z(s,|a|)$로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $0 < a \leq 1/2$ 및 비음의 정수 $n$에 대해 $Z(-n,a)$, $\pi^{-2n-2}P(2n+2,a)$, $Y(-n,a)$, $\pi^{-2n-1}O(2n+1,a)$는 유리 계수를 가진 $a$에 대한 다항식이다.
• 서로소인 $q > r \geq 1$에 대해 유리수 $b = r/q$에 대해 $Z(-n,b)$, $\pi^{-2n-2}P(2n+2,b)$, $Y(-n,b)$, $\pi^{-2n-1}O(2n+1,b)$는 모두 유리수이다.
• $\pi^{-2n-2}Z(2n+2,b)$, $P(-n,b)$, $\pi^{-2n-1}Y(2n+1,b)$, $O(-n,b)$는 유리 계수를 가진 $\cos(2\pi/q)$ 및 $\sin(2\pi/q)$에 대한 다항식이다.
• $a \in (0,1)$에 대해 $\pi^{-2n-2}Z(2n+2,a)$, $P(-n,a)$, $\pi^{-2n-1}Y(2n+1,a)$, $O(-n,a)$는 유리 계수를 가진 $\exp(2\pi i a)$의 유리함수이다.
• $P(s,a) \equiv 0$이 모든 $0 < a < 1/2$에 대해 성립하는 것은 $s$가 음의 짝수 정수일 때에만 성립한다.
• 정 stationar자 self-similar 가우시안 과정의 스펙트럼 밀도는 $\rho_\lambda(\alpha) = C|e^{2\pi i \alpha} - 1|^2 Z(\lambda, |\alpha|)$로 주어지며, 이는 $Z(s, |a|)$가 이러한 과정에 대해 스펙트럼 밀도임을 확인한다.