[논문 리뷰] The Vanishing Moment Method for Fully Nonlinear Second Order Partial Differential Equations: Formulation, Theory, and Numerical Analysis

Xiaobing Feng, Michael Neilan|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 06.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 59인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 몽제-암페르, 고정 곡면 곡률, 무한대 라플라스 방정식 등 완전 비선형 두 번째 차수 편미분방정식을 해결하기 위한 새로운 수치적 접근법으로 퇔어지는 순간 방법(vanishing moment method)을 제안한다. 원래 PDE를 ε에 따라 매개변수화된 일족의 네 번째 차수 준선형 방정식으로 정규화함으로써, 안정적인 유한요소 및 혼합 유한요소 이산화를 가능하게 하며, 반지름 대칭 조건 하에서 점근 해에 대한 수렴성이 증명되고, 최적의 오차 비율을 보이는 수치적 검증을 통과한다.

ABSTRACT

The vanishing moment method was introduced by the authors in [37] as a reliable methodology for computing viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations (PDEs), in particular, using Galerkin-type numerical methods such as finite element methods, spectral methods, and discontinuous Galerkin methods, a task which has not been practicable in the past. The crux of the vanishing moment method is the simple idea of approximating a fully nonlinear second order PDE by a family (parametrized by a small parameter $\vepsi$) of quasilinear higher order (in particular, fourth order) PDEs. The primary objectives of this book are to present a detailed convergent analysis for the method in the radial symmetric case and to carry out a comprehensive finite element numerical analysis for the vanishing moment equations (i.e., the regularized fourth order PDEs). Abstract methodological and convergence analysis frameworks of conforming finite element methods and mixed finite element methods are first developed for fully nonlinear second order PDEs in general settings. The abstract frameworks are then applied to three prototypical nonlinear equations, namely, the Monge-Ampère equation, the equation of prescribed Gauss curvature, and the infinity-Laplacian equation. Numerical experiments are also presented for each problem to validate the theoretical error estimate results and to gauge the efficiency of the proposed numerical methods and the vanishing moment methodology.

연구 동기 및 목표

• 완전 비선형 두 번째 차수 PDE의 점근 해를 계산하기 위한 신뢰할 수 있는 수치적 프레임워크를 개발하는 것. 이는 이전에 표준 갈레르킨 방법으로는 해결되지 않았던 문제이다.
• 반지름 대칭 케이스에서 퇸어지는 순간 방법의 엄밀한 수렴 이론을 수립하여, ε → 0일 때 정규화된 해가 진짜 점근 해로 수렴함을 보장하는 것.
• 일반적인 완전 비선형 PDE에 적용 가능한 추상적인 유한요소 수렴 프레임워크(일관된 및 혼합형)를 개발하여 몽제-암페르 및 무한대 라플라스 방정식과 같은 대표적인 방정식에 적용하는 것.
• 세 가지 벤치마크 비선형 PDE에 대한 체계적인 수치 실험을 통해 이론적 오차 추정치를 검증하는 것.
• 대규모 시뮬레이션에서 발생하는 비선형 해법 및 조절 전략의 실용적 구현 과제를 탐색하는 것.

제안 방법

• 완전 비선형 두 번째 차수 PDE를 작은 매개변수 ε를 도입하여 네 번째 차수 준선형 PDE로 정규화한다: εΔ²u + F(D²u, ∇u, u, x) = 0.
• F에 대한 적절한 구조적 가정 하에서, 정규화된 문제의 해가 ε → 0일 때 원래 PDE의 점근 해로 수렴함을 보인다.
• 정규화된 네 번째 차수 방정식에 대해 일관된 및 혼합 유한요소 방법을 수립하며, 유도된 비선형 대수계를 선형화하기 위해 뉴턴 방법을 적용한다.
• 뉴턴 방법의 효과적인 초기 추정치를 생성하기 위해 다중 해상도 또는 호모토피 전략을 사용한다. 이는 더 큰 ε에서 시작하여 점차 더 작은 ε로 정밀화하는 방식이다.
• 오차 추정치는 추상적 설정에서 유도되며, 일관된 및 혼합 유한요소 근사에 대해 각각 유도된다.
• 수치 실험은 ILU 조절 전략을 적용한 뉴턴 해법을 사용하며, 수렴 비율을 이론적 예측과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 툴어지는 순간 방법은 표준 갈레르킨 방법을 사용하여 완전 비선형 두 번째 차수 PDE에 대해 안정적이고 수렴하는 수치적 스킴을 제공할 수 있는가?
• RQ2 반지름 대칭 케이스에서 퇸어지는 순간 방법의 수렴 비율은 무엇이며, 점근 해의 정규성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 일관된 및 혼합 유한요소 방법은 정규화된 네 번째 차수 PDE를 어떻게 근사하는가? 그리고 어떤 오차 한계를 설정할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 시간에 의존하거나 포아르비아형 완전 비선형 PDE로 확장될 수 있는가? 이러한 일반화에서 발생하는 과제는 무엇인가?
• RQ5 이 방법에서 발생하는 대규모 비선형 대수계를 해결하기 위해 가장 효과적인 비선형 해법과 조절 전략은 무엇인가?

주요 결과

• 툴어지는 순간 방법은 완전 비선형 두 번째 차수 PDE를 네 번째 차수 준선형 방정식으로 성공적으로 정규화하여, 표준 유한요소 방법의 적용을 가능하게 한다.
• 반지름 대칭 조건 하에서 정규화된 해가 원래 PDE의 점근 해로 수렴함이 엄밀히 증명되었으며, 충분한 정규성 조건 하에서 수렴 비율이 확립되었다.
• 몽제-암페르 및 고정 곡면 곡률 문제에서 일관된 유한요소 방법의 경우 O(h²)의 최적 수렴 비율, 혼합 유한요소 방법의 경우 O(h)의 수렴 비율이 수치적으로 관측되었다.
• 세 가지 대표적인 방정식에 대해 수치적 검증을 수행하였으며, 계산된 수렴 비율이 이론적 예측과 일치함을 확인하였다.
• 초기 추정치 생성을 위한 다중 해상도 전략은 실질적으로 뉴턴 방법의 수렴 안정성을 크게 향상시켰다.
• 열린 문제로는 수렴 이론을 일반 F로 확장하는 것, 포아르비아형 완전 비선형 PDE에 대한 방법 개발, 기저가 없거나 비타당하지 않은 시스템의 처리가 있다.