[논문 리뷰] The vanishing viscosity limit for 2D Navier-Stokes in a rough domain

David Gérard‐Varet, Christophe Lacave외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 30.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 41인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 경계가 주기적 고르지 않은 진동을 보이는 영역에서 2차원 라우지에르-니코르스 방정식의 점성계수의 소멸한계를 증명한다. 경계는 진폭 ε¹⁺ᵃ, 파장 ε의 빠른 진동을 갖는다. 거칠은 경계의 영향을 반영한 경계층 근사해를 구성하고, 라우지에르-니코르스 진동에 의한 안정성을 증명함으로써, ν → 0 및 ε → 0 일 때 평탄한 영역에서의 오일러 해로의 수렴을 보여준다. 이는 α > 0 이고 ν 가 ε 에 비해 충분히 작을 경우 성립한다.

ABSTRACT

We study the high Reynolds number limit of a viscous fluid in the presence of a rough boundary. We consider the two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations with Navier slip boundary condition, in a domain whose boundaries exhibit fast oscillations in the form $x_2 = \varepsilon^{1+\alpha} \eta(x_1/\varepsilon)$, $\alpha > 0$. Under suitable conditions on the oscillating parameter $\varepsilon$ and the viscosity $ u$, we show that solutions of the Navier-Stokes system converge to solutions of the Euler system in the vanishing limit of both $ u$ and $\varepsilon$. The main issue is that the curvature of the boundary is unbounded as $\varepsilon ightarrow 0$, which precludes the use of standard methods to obtain the inviscid limit. Our approach is to first construct an accurate boundary layer approximation to the Euler solution in the rough domain, and then to derive stability estimates for this approximation under the Navier-Stokes evolution.

연구 동기 및 목표

• 빠르게 진동하는 경계를 갖는 영역에서 점성 비압축 유동의 ν → 0 및 ε → 0 동시 점점한 극한을 이해하기 위해.
• ε → 0 일 때 경계 곡률이 무한대가 되어 기존의 비점성한계 방법이 무효화되는 문제를 다루기 위해.
• 거칠은 경계의 영향을 오일러 해에 반영하는 경계층 수정항을 구성하고, 라우지에르-니코르스 진동에 의한 안정성을 증명하기 위해.
• α > 0 이고 ν ≪ ε 인 조건에서, 라우지에르-니코르스 해가 평탄한 영역에서 오일러 해로 수렴함을 확립하기 위해.
• 고곡률과 무한대에 가까운 코어티시티를 가진 거친 영역에서 발생하는 불안정성 문제를 해결하기 위해 정교한 근사와 에너지 추정을 사용하기 위해.

제안 방법

• 경계의 거칠음으로 인한 비점성 경계층 수정항 U(t, x₁, x/ε)를 포함한 오일러 방정식의 근사해를 거친 영역 Ωε 에서 구성한다. 이 수정항의 진폭은 εᵃ 이다.
• 거친 영역 Ωε 를 평탄한 영역 T × R⁺ 로 매핑하기 위한 좌표변환을 사용하여, 왜곡된 경계를 갖는 변형된 영역으로 문제를 전환한다.
• 가중치를 부여한 소볼레프 공간과 로그 추정을 사용하여 변형된 영역에서 발산이 없는 벡터장에 대한 타원형 추정을 유도한다. 이는 비틀림의 H² 및 L² 노름을 통해 L∞ 노름을 제어한다.
• 에너지 방법과 코어티시티 제어를 사용하여, 라우지에르-니코르스 진동에 의한 안정성 추정을 유도한다. 이는 편차 vν = uν,ε − uapp,ν 의 L² 및 H¹ 노름을 제어한다.
• 부드러운 근사해의 시간 미분에 기반한 부스터래핑 추론을 사용하여, 라우지에르-니코르스 해의 전역 존재성과 해의 부드러움을 보장한다.
• 코어티시티에 대한 최대원리와 라우지에르 경계조건의 구조를 이용하여, ων,ε 의 제어를 하고 비점성한계에서의 폭발을 방지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ε → 0 일 때 경계 곡률이 무한대가 되는 거친 영역에서, 라우지에르-니코르스 방정식의 점성계수 소멸한계가 Navier 슬립 경계조건 하에 성립하는가?
• RQ2 진폭 ε¹⁺ᵃ, 파장 ε 인 거칠음이 존재할 경우, 라우지에르-니코르스 해가 오일러 해로 수렴하는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 거칠음에 의해 유도된 슬립 효과를 반영한 오일러 근사에서 경계층 수정항의 적절한 형태는 무엇인가?
• RQ4 ν 와 ε 에 어떤 조건이 성립할 경우, 라우지에르-니코르스 해가 평탄한 영역에서 오일러 해로 수렴하는가?
• RQ5 무한대 곡률과 고코어티시티 존재 조건에서, 경계층 근사해에 대한 안정성 추정을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• α > 0 이고 ν 가 ε 에 비해 충분히 작을 경우, 거친 영역 Ωε 에서의 2차원 라우지에르-니코르스 방정식 해는 ν → 0 및 ε → 0 일 때 평탄한 영역 Ω₀ 의 오일러 해로 수렴한다.
• 경계 곡률은 εᵃ⁻¹|η′′| 비례하며, α < 1 이면 ε → 0 일 때 무한대가 되어 기존의 비점성한계 방법을 무효화한다.
• 오일러 근사에서 거칠음 효과를 반영하기 위해 εᵃU(t, x₁, x/ε) 형태의 경계층 수정항을 구성한다. 여기서 U 는 주기 세포에서 정의된 수정방정식의 해이다.
• L∞ 노름은 비틀림의 H² 노름과 L² 노름을 포함한 로그 추정을 통해 제어되며, 이는 ε 과 α 에 명시적인 의존성을 갖는다.
• 편차 vν = uν,ε − uapp,ν 에 대한 안정성 추정은 ε² 및 εᵃ‖v‖L∞ ln(2 + ε⁻³‖v‖H³) 형태의 항을 포함하며, 이는 가정된 조건 하에서 제어 가능하다.
• 프랑틀 유형의 전개에서 발생하는 불안정성을 피하기 위해 정교한 경계층 구조와 코어티시티 기반 제어를 사용함으로써, 곡률이 무한대가 되는 조건에서도 수렴이 가능해진다.