[논문 리뷰] The variance of the Stirling cycle numbers

Herbert S. Wilf|ArXiv.org|2005. 11. 17.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ n $ 개의 원소에 대한 두 개의 균일한 랜덤 순열이 동일한 수의 사이클을 가질 확률의 점점 감소하는 점근적 확률을 유도하며, 큰 $ n $ 에서는 $ \sim \frac{1}{2\sqrt{\pi \log n}} $ 로 감소함을 보여준다. 복소해석학과 감마 함수를 포함한 적분 표현을 사용하여 스틸링 사이클 수의 제곱 합을 평가하고, 조화수와 점근적 라플라스 방법과 연결한다.

ABSTRACT

We show that the probability that two permutations of $n$ letters have the same number of cycles is \[\sim \frac{1}{2\sqrt{π\log{n}}}.\]

연구 동기 및 목표

• 스티링 사이클 수의 제곱 합 $ \sum_k {n \brack k}^2 $ 의 점근적 행동을 결정하는 것 — 이는 동일한 사이클 수를 가진 순열 쌍의 수를 세는 데 사용된다.
• Miklós Bóna 가 제기한 질문을 해결하는 것: $ n $ 개의 원소에 대한 두 개의 랜덤 순열이 동일한 수의 사이클을 가질 확률에 대해.
• 복소해석학과 적분 변환을 적용하여 합 $ f(n) = \sum_k {n \brack k}^2 $ 를 평가하고, 감마 함수와 조화수와 연결하는 것.
• 점근적 성장률을 정확히 규명하여 사이클 수 일치 확률에 도달하는 것.

제안 방법

• 식 $ f(n) = \sum_k {n \brack k}^2 $ 를 삼각적 적분으로 표현: 항등식 $ \sum |a_k|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |g(e^{i\theta})|^2 d\theta $ 를 사용하며, $ g(z) = \prod_{j=0}^{n-1} (z + j) $ 이다.
• 적분을 $ e^{i\theta} $ 에 대해 재작성하고, $ (n-1)!^2 $ 를 인수로 분리하며, $ e^{2H_{n-1}\cos\theta} $ 를 통해 조화수 $ H_{n-1} $ 를 도입한다.
• 감마 함수의 무한곱 표현을 적용하여 나머지 곱을 $ \left| \frac{e^{-\gamma e^{i\theta}}}{e^{i\theta} \Gamma(e^{i\theta})} \right|^2 $ 로 표현하며, 저차항을 제외한 형태로 한다.
• 감마 함수의 점근 전개와 항등식 $ \Gamma(e^{i\theta}) \sim \text{해석적 함수} $ 를 사용하여 integrand 를 $ \frac{e^{2(\cos\theta - 1)\log n}}{|\Gamma(e^{i\theta})|^2} $ 로 단순화한다.
• 결과로 얻어진 적분 $ I(n) = \int_0^{2\pi} \frac{e^{2(\cos\theta - 1)\log n}}{|\Gamma(e^{i\theta})|^2} d\theta $ 에 라플라스 방법을 적용하여 $ I(n) \sim \sqrt{\frac{\pi}{\log n}} $ 임을 보인다.
• factorial 성장률과 결합하여 $ f(n) \sim \frac{n!^2}{2\sqrt{\pi \log n}} $ 를 도출하고, 최종 확률 결과를 산출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 독립적이고 균일하게 선택된 $ n $ 개의 원소에 대한 순열이 $ n \to \infty $ 일 때 동일한 수의 사이클을 가질 확률의 점근적 확률은 무엇인가?
• RQ2 스틸링 사이클 수의 제곱 합 $ \sum_k {n \brack k}^2 $ 는 $ n $ 과 함께 어떻게 증가하는가?
• RQ3 스틸링 수의 합에 대한 적분 표현은 복소해석학과 특수함수를 사용하여 점근적으로 평가될 수 있는가?
• RQ4 감마 함수는 사이클 수의 합의 점근적 평가에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 조화수 $ H_{n-1} $ 는 랜덤 순열에서 사이클 수의 분포에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 스틸링 사이클 수의 제곱 합은 $ f(n) = \sum_k {n \brack k}^2 \sim \frac{n!^2}{2\sqrt{\pi \log n}} $ 로 점근적으로 수렴한다. $ n \to \infty $ 일 때.
• 두 랜덤 순열이 $ n $ 개의 원소에서 동일한 수의 사이클을 가질 확률은 점근적으로 $ \sim \frac{1}{2\sqrt{\pi \log n}} $ 로 수렴한다.
• 적분 $ I(n) = \int_0^{2\pi} \frac{e^{2(\cos\theta - 1)\log n}}{|\Gamma(e^{i\theta})|^2} d\theta $ 에서 주요 기여는 지수 함수가 최대가 되는 $ \theta = 0 $ 근처의 이웃 영역에서 발생한다.
• 라플라스 방법을 통한 $ I(n) $ 의 점근적 평가로 $ I(n) \sim \sqrt{\frac{\pi}{\log n}} $ 를 도출하였으며, 이는 $ f(n) $ 의 최종 점근적 형태를 이끌어낸다.
• 결과는 복소해석학, 감마 함수의 무한곱 표현, 진동적 적분의 점근적 분석을 결합하여 유도되었다.
• 최종 확률은 느리게 감소하며, $ n $ 의 로그의 역제곱근과 유사하게 감소하여, 큰 $ n $ 에서도 사이클 수 일치가 무시할 수 없는 확률을 유지함을 시사한다.