[논문 리뷰] The volume of a set of arcs on a variety

Tommaso de Fernex, Mircea Mustaţă|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대수다양체의 호 공간 부분집합에 대한 체적 불변량을 제안하며, 이는 호들과 관련된 아이디얼의 길이의 점점 증가하는 성장률을 통해 정의된다. Cohen–Macaulay 다양체의 경우, 닫힌 점 중심의 호 집합에 대해 $\operatorname{vol}(C)^{1/n} \cdot \operatorname{jet\text{-}codim}(C) \geq n$이 성립함을 보이며, Mather 로그 캐논리컬 임계값을 사용하여 특이점이 있는 상황으로 일반화된 고전적 부등식(로그 캐논리컬 임계값과 계수의 관계)을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we give a definition of volume for subsets in the space of arcs of an algebraic variety, and study its properties. Our main result relates the volume of a set of arcs on a Cohen-Macaulay variety to its jet-codimension, a notion which generalizes the codimension of a cylinder in the arc space of a smooth variety.

연구 동기 및 목표

• 대수다양체의 호 공간 부분집합에 대한 체적 불변량을 정의하고 연구하는 것, 특히 특이 다항식의 맥락에서.
• 컬로컬링스, 계수, 로그 캐논리컬 임계값을 연결하는 고전적 부등식을 특이점이 있는 Cohen–Macaulay 다양체로 일반화하는 것.
• 체적과 제트-코디멘션 사이의 관계를 규명하여, 매끄러운 다양체에서의 결과를 특이점이 있는 경우로 확장하는 것.
• 특이점이 있는 맥락에서 핵심 불변량으로서 Mather 로그 캐논리컬 임계값을 정의하고 분석하는 것, 기존의 로그 캐논리컬 임계값을 대체하는 데 목적을 두는 것.

제안 방법

• 집합 $C \subseteq X_\infty$의 체적을 $\operatorname{vol}(C) = \limsup_{m \to \infty} \frac{\ell(R / \mathfrak{b}_m(C))}{m^n / n!}$로 정의한다. 여기서 $\mathfrak{b}_m(C)$는 $C$에 속한 모든 호를 따라 최소한 $m$차수의 정칙 함수의 아이디얼이다.
• 닫힌 부분집합 $C \subseteq X_\infty$의 제트-코디멘션을 $\operatorname{jet\text{-}codim}(C) = \lim_{p \to \infty} \left( (p+1)n - \dim \overline{\pi_p(C)} \right)$로 정의하며, 이는 제트 공간에서의 점점 증가하는 코디멘션을 측정한다.
• 비틀림 모델과 야코비안 아이디얼을 통해 정의된, 로그 캐논리컬 임계값의 특이점 대체물인 Mather 로그 캐논리컬 임계값 $\widehat{\operatorname{lct}}(\mathfrak{a})$를 도입한다.
• Cohen–Macaulay 다양체에서 $\mathfrak{m}$-primary 아이디얼에 대해 $(n! \cdot \ell(\mathcal{O}_X / \mathfrak{a}))^{1/n} \cdot \widehat{\operatorname{lct}}(\mathfrak{a}) \geq n$ 및 $e(\mathfrak{a})^{1/n} \cdot \widehat{\operatorname{lct}}(\mathfrak{a}) \geq n$이라는 부등식이 성립함을 증명한다.
• 제트-코디멘션과 체적을 연결하는 부등식의 사슬을 통해, 호 집합 $C$의 체적과 아이디얼 $\mathfrak{b}_p(C)$의 Mather 로그 캐논리컬 임계값 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 대수다양체의 호 공간 부분집합에 대해 의미 있는 체적 불변량을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 호 집합의 체적과 그 호 공간 내 기하학적 코디멘션 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 로그 캐논리컬 임계값과 계수를 연결하는 고전적 부등식은 특이점이 있는 Cohen–Macaulay 다양체로 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 Mather 로그 캐논리컬 임계값은 특이점이 있는 맥락에서 표준 로그 캐논리컬 임계값의 적절한 대체로 작용할 수 있는가?
• RQ5 Mather 로그 캐논리컬 임계값에 대해 접촉 지역 $\operatorname{Cont}^{\geq m}(\mathfrak{a})$의 체적의 점근적 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 호 집합 $C \subseteq X_\infty$의 체적이 유한한 것은 그 이미지가 $X$에서 유한한 닫힌 점의 집합일 때이고, 그 때에만 성립한다.
• 체적이 포함-배제 원리 부등식을 만족한다: $\operatorname{vol}(C_1 \cup C_2) + \operatorname{vol}(C_1 \cap C_2) \leq \operatorname{vol}(C_1) + \operatorname{vol}(C_2)$.
• 한 점에서 코스포포티드된 아이디얼 $\mathfrak{a}$에 대해, $\operatorname{Cont}^{\geq m}(\mathfrak{a})$의 체적은 $m^n \cdot \operatorname{vol}(\operatorname{Cont}^{\geq m}(\mathfrak{a})) \leq (mp)^n \cdot \operatorname{vol}(\operatorname{Cont}^{\geq mp}(\mathfrak{a})) \leq e(\mathfrak{a})$를 만족하며, 충분히 나누어떨어지는 $m$에 대해 등호가 성립한다.
• 집합 $C$의 제트-코디멘션은 $C$가 유한한 코디멘션을 갖는 실린더들의 유한한 합집합에 포함되어 있을 때에만 유한하다.
• 차원 $n$인 Cohen–Macaulay 다양체 $X$에 대해, 임의의 닫힌 점 위의 호 집합 $C$에 대해 주요 부등식 $\operatorname{vol}(C)^{1/n} \cdot \operatorname{jet\text{-}codim}(C) \geq n$이 성립한다.
• 매끄러운 경우 이는 $\operatorname{vol}(C)^{1/n} \cdot \operatorname{codim}(C) \geq n$으로 줄어들며, 이는 매끄러운 맥락에서 기존에 알려진 결과를 회복한다.