[논문 리뷰] The von Neumann algebra of the non-residually finite Baumslag group embeds into R^omega

Florin Rădulescu|arXiv (Cornell University)|2000. 04. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 6인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 무한한 공轭류를 가진 R^ω의 유니터리 군의离산 부분군인 초선형 군을 도입하고, Baumslag 군이 초선형임을 증명함으로써 R^ω에 삽입 가능한 비초유한형 II₁ 연산자 대수를 제공한다. 이는 모든 분리 가능한 II₁ 연산자 대수가 R^ω에 삽입된다는 Connes의 추측에 대한 새로운 증거를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we analyze the structure of some sets of non-commutative moments of elements in a finite von Neumann algebra M. If the fundamental group of M is R_+\{0}, then the moment sets are convex, and if M is isomorphic to M tensor M, then the sets are closed under pointwise multiplication. We introduce a class of discrete groups that we call hyperlinear. These are the discrete subgroups (with infinite conjugacy classes) of the unitary group of R^omega. We prove that this class is strictly larger than the class of (i.c.c.) residually finite groups. In particular, it contains the Baumslag group . This leads to a previously unknown (non-hyperfinite) type II_1 factor that can be embedded in R^omega. This is positive evidence for Connes's conjecture that any separable II_1 factor can be embedded into R^omega.

연구 동기 및 목표

• 초유한 군을 확장하는 새로운 군의 클래스인 초선형 군을 정의하고 연구하는 것.
• 유한 von Neumann 대수에서의 비가환 모멘트 집합의 성질, 특히 볼록성과 닫힘 성질을 분석하는 것.
• 특히 비초유한 예를 중심으로 R^ω에 삽입되는 II₁ 연산자 대수의 삽입을 조사하는 것.
• 모든 분리 가능한 II₁ 연산자 대수가 R^ω에 삽입된다는 Connes의 추측에 대한 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 무한한 공轭류를 가진 R^ω의 유니터리 군의 이산 부분군으로 초선형 군을 도입하는 것.
• 유한 von Neumann 대수의 원소들의 모멘트 집합을 분석하여, 대수의 기본군이 R_+\{0}일 경우 볼록성을 보이는 것.
• 대수가 자기와의 텐서곱과 동형일 때(M ≅ M ⊗ M), 모멘트 집합이 점별 곱에 대해 닫혀 있음을 증명하는 것.
• R^ω 내에서 적절한 유니터리 표현을 구성함으로써 비초유한형인 Baumslag 군이 초선형임을 보이는 것.
• Baumslag 군의 초선형성을 이용하여 R^ω에 삽입 가능한 새로운 II₁ 연산자 대수를 구성하는 것.
• 이 대수가 비초유한형임을 증명함으로써 초유한형의 경우를 초월하여 삽입 가능한 II₁ 연산자 대수의 범주를 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초선형 군의 범주가 (i.c.c.) 초유한 군의 범주보다 엄밀히 큰가?
• RQ2 유한 von Neumann 대수에서의 비가환 모멘트 집합이 기본군에 대한 특정 조건을 만족할 경우 볼록성을 나타내는가?
• RQ3 R^ω에 삽입 가능한 비초유한형 II₁ 연산자 대수가 존재하는가?
• RQ4 Baumslag 군이 R^ω의 유니터리 군 내에서 초선형 군으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 이러한 비초유한형 삽입 가능한 대수가 Connes의 삽입 추측을 뒷받침하는가?

주요 결과

• 초선형 군의 범주는 (i.c.c.) 초유한 군의 범주를 엄밀히 포함한다.
• Baumslag 군은 R^ω 내에서 무한한 공轭류를 가지는 유니터리 표현을 갖기 때문에 초선형이다.
• 비초유한형인 Baumslag 군은 R^ω에 삽입 가능한 II₁ 연산자 대수를 생성한다.
• 이 구성된 대수는 비초유한형이므로, 비초유한형 II₁ 연산자 대수가 R^ω에 삽입될 수 있음을 보여준다.
• 기본군이 R_+\{0}일 경우, 유한 von Neumann 대수의 원소들의 모멘트 집합은 볼록하다.
• 대수가 M ≅ M ⊗ M 를 만족할 경우, 모멘트 집합은 점별 곱에 대해 닫혀 있다.