[논문 리뷰] The Voronoi formula on GL(3) with ramification

Zhou Fan|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 28.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 수준 $N$을 가진 GL(3) 자동형식에 대해 두 가지 새로운 바르노이 공식을 수립한다. 하나는 $N$을 나누는 도함수를 가진 덧셈 성분에 대해, 다른 하나는 $N$과 서로소인 도함수를 가진 덧셈 성분에 대해, 기존의 밀러-슈마이드 유형 공식을 비비례하지 않는 경우로 확장한다. 핵심 기여는 쌍대형식이나 아틴-레너 이론에 의존하지 않는 자가 일관된 증명을 제공하며, 클루스트르만 합과 감마 인자들을 포함하는 명시적인 적분 변환을 제시한다.

ABSTRACT

Firstly we prove that the Voronoi formula of Miller-Schmid type applies to automorphic forms on GL(3) for the congruence subgroup $Γ_0(N)$, when the conductor of the additive character in the formula is a multiple of $N$. As an application, we produce a result about the functional equation of $L$-function of the automorphic form on GL(3) twisted by Dirichlet characters. Secondly we prove that a similar formula applies to automorphic forms on GL(3) for the congruence subgroup $Γ_0(N)$, when the conductor of the additive character in the formula is coprime with $N$.

연구 동기 및 목표

• GL(3) 자동형식에 대해 수준 $N$과 분해가 있는 경우에 대해 밀러-슈마이드 바르노이 공식을 확장하는 것, 특히 이전 연구에서 다루지 않은 경우를 포함한다.
• 덧셈 성분의 도함수가 수준 $N$을 나눌 때의 바르노이 공식을 증명하는 것, 이는 이전에 분해가 있는 설정에서 다루지 않은 사례이다.
• 덧셈 성분의 도함수가 $N$과 서로소일 때 두 번째 바르노이 공식을 유도하여 GL(2)에서의 대칭성과 유사한 상황의 완전성을 확보하는 것.
• 증명에서 쌍대형식과 아틴-레너 이론에 대한 의존도를 제거하여 고수준의 형식으로의 일반화를 가능하게 하는 것.
• 새로운 공식을 통해 딜리클 캐릭터에 의해 휘어진 $L$-함수의 함수방정식을 제공하는 것.

제안 방법

• 특정 유니포텐트 행렬에 대한 불변성을 이용하여 $N \mid c$인 경우 바르노이 공식을 유도하며, 쌍대형식이 필요로 하지 않는다.
• 시험 함수의 적분 변환을 적용하여, 푸리에-블랑커 계수의 가역합을 클루스트르만 합과 연결한다.
• GL(3,\mathbb{R})에서의 매스 형식 이론과 GL(3)에 대한 역정리 이론을 사용하여 함수방정식을 수립한다.
• 이중 딜리클 급수와 헤크 관계를 활용하여 $L$-함수와 그 휘어진 형태를 연결하며, 딜리클 캐릭터와 가우스 합의 성질을 이용한다.
• 딜리클 캐릭터의 직교성과 딜리클 급수의 유일성 정리를 적용하여 두 표현을 동치로 만들고 증명을 완성한다.
• 골드펠드와 리(2007) 및 이치노-템플리에르(2014)의 기법을 활용하며, 분해가 있는 수준 $N$ 설정에 맞게 조정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 덧셈 성분의 도함수가 수준 $N$을 나눌 때, GL(3) 자동형식에 대해 밀러-슈마이드 유형 바르노이 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 GL(2)의 두 번째 상황과 유사하게, 도함수가 $N$과 서로소인 GL(3) 형식에 대해 바르노이 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 증명에서 쌍대형식이나 아틴-레너 이론을 사용하지 않고 구성할 수 있는가?
• RQ4 새로운 공식은 딜리클 캐릭터에 의해 휘어진 $L$-함수의 함수방정식에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 분해가 있을 경우 바르노이 공식에서 적분 변환과 클루스트르만 합의 정확한 구조는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 도함수가 $N \mid c$인 경우에 대해 새로운 바르노이 공식이 증명되었으며, 합 $\sum_n A_F(n,m) \exp(2\pi i \bar{a}n/c) \omega(n)$이 클루스트르만 합과 적분 변환 $\Omega$를 포함하는 $m_1, m_2$에 대한 합으로 표현된다.
• 식 (1)에서 $N \mid c$인 경우의 공식이 명시적으로 제시되었으며, 우변은 $S(am, m_2; cm/m_1)$와 $\Omega( m_1^2 |m_2| / (c^3 |m|) )$를 포함한다.
• $(c,N)=1$인 경우, 식 (2)에서 두 번째 바르노이 공식이 확립되었으며, $\tilde{F}$, $\psi(cm)$, $\Omega_\pm( m_1^2 m_2 / (c^3 m N) )$를 포함한다.
• 주요 공식에서 쌍대형식을 사용하지 않아 골드펠드-리(2007)와 다름을 보이며, 대신 다른 유니포텐트 부분군에 대한 불변성을 사용한다.
• 딜리클 캐릭터에 의해 휘어진 $L$-함수의 함수방정식이 응용 사례로 도출되었으며, $L$-함수와 그 휘어진 형태를 연결한다.
• 직교성과 유일성 정리를 통해 두 이중 딜리클 급수 표현이 동치임을 증명하여 공식의 타당성을 확인한다.