[논문 리뷰] The Wasserstein-Fisher-Rao metric for waveform based earthquake location

Datong Zhou, J. Chen외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 02.

Seismic Imaging and Inversion Techniques참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 파형 기반 지진 위치 결정을 위한 제곱 워셔스타인 거리 측도의 우월한 대안으로 워셔스타인-파이저-레이어(워셔스타인-파이저-레이어, WFR) 거리 측도를 제안한다. 정규화 없이 진폭 정보를 유지함으로써, WFR 거리 측도는 원천-수신기 거리에 대한 민감도를 향상시켜 고노이즈 조건에서 위치 정확도를 크게 향상시킨다. 수치 결과에 따르면, 제곱 워셔스타인 방법 대비 위치 오차가 최대 80% 감소함을 보였다.

ABSTRACT

In our previous work [Chen el al., J. Comput. Phys., 373(2018)], the quadratic Wasserstein metric is successfully applied to the earthquake location problem. The actual earthquake hypocenter can be accurately recovered starting from initial values very far from the true ones. However, the seismic wave signals need to be normalized since the quadratic Wasserstein metric requires mass conservation. This brings a critical difficulty. Since the amplitude of a seismogram at a receiver is a good representation of the distance between the source and the receiver, simply normalizing the signals will cause the objective function in optimization process to be insensitive to the distance between the source and the receiver. When the data is contaminated with strong noise, the minimum point of the objective function will deviate and lead to a low accurate location result. To overcome the difficulty mentioned above, we apply the Wasserstein-Fisher-Rao (WFR) metric [Chizat et al., Found. Comput. Math., 18(2018)] to the earthquake location problem. The WFR metric is one of the newly developed metric in the unbalanced Optimal Transport theory. It does not require the normalization of the seismic signals. Thus, the amplitude of seismograms can be considered as a new constraint, which can substantially improve the sensitivity of the objective function to the distance between the source and the receiver. As a result, we can expect more accurate location results from the WFR metric based method compare to those based on quadratic Wasserstein metric under high-intensity noise. The numerical examples also demonstrate this.

연구 동기 및 목표

• 신호 정규화가 필요로 하여 진폭 기반의 원천-수신기 거리 정보를 손실하는 제곱 워셔스타인 거리 측도의 한계를 해결하기 위해.
• 특히 고노이즈 조건에서 신호가 정규화될 경우 목적 함수가 원천-수신기 거리에 민감하지 않게 되는 문제를 해결하기 위해.
• 최적화 민감도와 정확도를 향상시키기 위해 진폭 정보를 유지하는 파형 기반 지진 위치 결정 방법을 개발하기 위해.
• 수치 실험을 통해 WFR 거리 측도가 고노이즈 환경에서 제곱 워셔스타인 거리 측도보다 뛰어난 성능을 보임을 입증하기 위해.
• 나쁜 초기 추정치와 오염된 데이터로부터도 안정적이고 정확한 지진의 진원점 및 발생 시각 복원을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 질량 보존 또는 신호 정규화가 필요 없는 비균형 최적 운반 이론에서 유래한 워셔스타인-파이저-레이어(WFR) 거리 측도를 채택하기 위해.
• 파형 기반 지진 위치 결정 최적화 문제에서 제곱 워셔스타인 거리 측도를 대체하여 WFR 거리 측도를 오차 함수로 사용하기 위해.
• 관측된 파형과 시뮬레이션된 지진파형 사이의 WFR 거리 측도를 최소화하는 것이 목적인 비선형 PDE 제약 최적화 문제로 지진 위치 문제를 공식화하기 위해.
• 시뮬레이션된 파형을 생성하기 위해 음향파 동역학 방정식에 Ricker 웨이브릿 원천과 흡수 경계 조건을 통합하기 위해.
• 진짜 진원점과 발생 시각으로 수렴할 수 있도록 적응형 제어 변수를 갖는 반복 최적화 기법을 구현하기 위해.
• 오차 함수에서 진폭 동역학을 유지함으로써, 고노이즈 데이터에서도 원천-수신기 거리에 대한 민감도를 유지할 수 있도록 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 WFR 거리 측도는 제곱 워셔스타인 거리 측도에 비해 고노이즈 조건에서 파형 기반 지진 위치 결정의 복원력을 향상시키는가?
• RQ2 오차 함수에 진폭 정보를 유지함으로써 최적화의 원천-수신기 거리에 대한 민감도가 향상되는가?
• RQ3 진짜 지진의 진원점에서 멀리 떨어진 초기 추정치에서 출발할 경우, WFR 거리 측도는 진짜 지진 진원점을 얼마나 잘 복원하는가?
• RQ4 실제의 구조대 경계면 모델에서 WFR 거리 측도를 사용할 경우 제곱 워셔스타인 거리 측도에 비해 위치 정확도가 얼마나 향상되는가?
• RQ5 특히 복잡한 속도 구조에서 강한 노이즈에 오염된 신호에서도 WFR 거리 측도는 높은 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 사례 (i)에서 WFR 거리 측도는 위치 오차 0.34 km를 기록했고, 제곱 워셔스타인 거리 측도는 1.31 km였으며, 고노이즈 조건에서 뚜렷한 향상이 있음을 보였다.
• 사례 (i)에서 진원점이 지각에 위치하고 초기 추정치가 구조대 경계면에 위치한 경우, WFR 거리 측도는 제곱 워셔스타인 거리 측도 대비 약 74%의 위치 오차 감소를 보였다.
• 사례 (ii)에서 진원점이 모호 경계면 근처에 위치한 경우, WFR 거리 측도는 제곱 워셔스타인 거리 측도 대비 87%의 위치 오차 감소를 기록했다.
• 두 사례 모두에서 수렴 궤적은 진짜 진원점으로 안정적이고 빠르게 수렴하였으며, WFR 거리 측도는 반복 과정 동안 단조롭게 감소하였다.
• 정규화된 제곱 워셔스타인 접근 방식에서 손실되는 진폭 정보를 유지함으로써 WFR 거리 측도는 원천-수신기 거리에 대해 높은 민감도를 유지한다.
• 수치 결과는 WFR 기반 방법이 오염된 강한 노이즈 데이터에서 제곱 워셔스타인 기반 방법보다 더 안정적이고 정확하다는 것을 확인했다.