[논문 리뷰] The weakness of the pigeonhole principle under hyperarithmetical reductions

Benoît Monin, Ludovic Patey|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 20.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2색 칠하기에 대한 무한 꼬리새원리($operatorname{RT}^1_2$)가 초산형 감소에 대해 강력한 원추 회피를 갖는다는 것을 입증한다. 즉, 임의의 초산형이 아닌 집합 $B$에 대해, 모든 집합 $A$는 $A$ 또는 그 여집합 안에 있는 무한 동질 부분집합 $H$를 가지며, 이때 $B$는 $H$에 대해 초산형이 아닌 상태를 유지한다. 주요 기여는 점프 제어를 일반화하는 새로운 포스팅 구성법으로, 이는 $Delta^0_n$ 및 산술 감소에 대한 강력한 원추 회피를 도출하며, 왕이 제기한 낮은 $n$ 부분집합에 관한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

The infinite pigeonhole principle for 2-partitions ($\\mathsf{RT}^1_2$) asserts the existence, for every set $A$, of an infinite subset of $A$ or of its complement. In this paper, we study the infinite pigeonhole principle from a computability-theoretic viewpoint. We prove in particular that $\\mathsf{RT}^1_2$ admits strong cone avoidance for arithmetical and hyperarithmetical reductions. We also prove the existence, for every $\\Delta^0_n$ set, of an infinite low${}_n$ subset of it or its complement. This answers a question of Wang. For this, we design a new notion of forcing which generalizes the first and second-jump control of Cholak, Jockusch and Slaman.

연구 동기 및 목표

• 다양한 감소 유형에 대해 무한 꼬리새원리($\mathrm{RT}^1_2$)의 계산 이론적 강도를 조사하는 것.
• $\mathrm{RT}^1_2$가 $\Delta^0_n$, 산술 감소 및 초산형 감소에 대해 강력한 원추 회피를 갖는지 판단하는 것.
• 왕이 제기한 $\Delta^0_n$ 집합 내에서 낮은 $n$ 무한 동질 부분집합의 존재성에 관한 질문을 해결하는 것.
• 찰락, 조크슈타인, 슬라먼의 첫 번째 및 두 번째 점프 제어 기법을 일반화하는 새로운 포스팅 개념을 개발하는 것.

제안 방법

• 초산형 감소를 다룰 수 있도록 점프 제어를 일반화하는 새로운 포스팅 개념 $\mathbb{P}_{\omega_1^{\mathrm{ck}}}$를 도입한다.
• 크기 클래스의 계층 구조 $\mathcal{L}_C$와 $\mathcal{B}_{n,\beta}$-일반성의 개념을 사용하여 포스팅 객체의 초산형 복잡도를 제어한다.
• 조건의 재귀적 구성법을 통해 일반 필터 $\mathcal{F}$가 $\omega_1^{\mathrm{ck}}$를 계산하지 못하도록 보장함으로써, 일반적 객체 $H$에 대해 $\omega_1^H = \omega_1^{\mathrm{ck}}$를 유지한다.
• $\mathcal{B}_{n,\beta}$-일반성의 개념을 적용하여, 어떤 $G$-계산 가능한 함수도 $\omega_1^{\mathrm{ck}}$를 코딩할 수 없도록 보장함으로써 $\omega_1^G > \omega_1^{\mathrm{ck}}$를 방지한다.
• $\{G : n \in \mathcal{O}_\alpha^G\}$ 가 $\alpha$ 및 $n$ 에 대해 균일하게 $\Delta^1_1$ 이라는 사실을 이용하여, 초산형 코딩을 차단하는 포스팅 조건을 정의한다.
• 포스팅을 $\Delta^0_n$-일반성과 $\Sigma^1_1$-일반성의 성질과 결합하여, 충분히 일반적인 필터에 대해 $\omega_1^{G_\mathcal{F}} = \omega_1^{\mathrm{ck}}$ 임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathrm{RT}^1_2$ 는 $\Delta^0_n$ 감소에 대해 강력한 원추 회피를 갖는가?
• RQ2 $\mathrm{RT}^1_2$ 는 산술 감소에 대해 강력한 원추 회피를 갖는가?
• RQ3 모든 $\Delta^{0}_{n+1}$-계산 가능한 집합 $A$ 는 낮은 $n+2$ 차수의 무한 동질 부분집합 $H$ 를 갖는가?
• RQ4 강력한 원추 회피는 초산형 감소로 확장될 수 있으며, 이때 $\omega_1^H = \omega_1^{\mathrm{ck}}$ 는 유지되는가?
• RQ5 초산형 복잡도를 다룰 수 있도록 점프 제어를 일반화하는 포스팅 개념을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathrm{RT}^1_2$ 가 $\Delta^0_n$ 감소에 대해 강력한 원추 회피를 갖는다는 것을 증명한다. 즉, 임의의 비-$\emptyset^{(n)}$-계산 가능한 집합 $B$ 에 대해, $A$ 또는 $\overline{A}$ 안에 있는 무한 동질 부분집합 $H$ 가 존재하여, $B$ 가 $H^{(n)}$-계산 가능하지 않다.
• 산술 감소에 대해 강력한 원추 회피를 확립한다: 임의의 비산술 집합 $B$ 에 대해, $A$ 또는 $\overline{A}$ 안에 있는 무한 동질 부분집합 $H$ 가 존재하여, $B$ 는 $H$ 에 대해 산술적이지 않다.
• 모든 $\Delta^{0}_{n+1}$-계산 가능한 집합 $A$ 는 낮은 $n+2$ 차수의 무한 동질 부분집합 $H$ 를 갖는다. 이는 왕의 질문에 대한 답이다.
• 논문은 $\mathbb{P}_{\omega_1^{\mathrm{ck}}}$ 라는 포스팅 개념을 구성하여, 임의의 충분히 일반적인 필터 $\mathcal{F}$ 에 대해 일반적 객체 $G_{\mathcal{F}}$ 가 $\omega_1^{G_{\mathcal{F}}} = \omega_1^{\mathrm{ck}}$ 를 만족함을 보였다. 이는 어떤 $G_{\mathcal{F}}$-계산 가능한 함수도 $\omega_1^{\mathrm{ck}}$ 를 코딩할 수 없음을 보장한다.
• 임의의 비초산형 집합 $B$ 에 대해, $A$ 또는 $\overline{A}$ 안에 있는 무한 동질 부분집합 $H$ 가 존재하여, $B$ 는 $H$ 에 대해 초산형이 아니며, $\omega_1^H = \omega_1^{\mathrm{ck}}$ 를 만족한다. 이는 초산형 감소에 대해 강력한 원추 회피를 확립한다.
• 포스팅 구성법은 일반적 객체가 $\omega_1^{\mathrm{ck}}$ 를 계산하지 못하도록 보장하며, 따라서 구조적 계층의 $\omega_1$ 순서형을 유지한다.