[논문 리뷰] The Wellposedness of FBSDEs (II)

Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 19.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 시간 구간, 랜덤 계수, 가능하게 비가역적인 전진 확산을 가진 고차원 정방형 확률미분방정식(FBSDE)의 잘 정의됨을 약화된 조건 하에 증명한다. 계수의 편미분을 포함하는 약화된 구조 조건을 통해 존재성과 유일성을 확보하였으며, 이는 이전 결과들보다 미분 가능성과 단조성 요구 조건을 완화하면서도 리프시츠 연속성은 유지한다.

ABSTRACT

This paper is a continuation of \cite{zhang}, in which we established the wellposedness result and a comparison theorem for a class of one dimensional Forward-Backward SDEs. In this paper we extend the wellposedness result to high dimensional FBSDEs, and weaken the key condition in \cite{zhang} significantly. Compared to the existing methods in the literature, our result has the following features: (i) arbitrary time duration; (ii) random coefficients; (iii) (possibly) degenerate forward diffusion; and (iv) no monotonicity condition.

연구 동기 및 목표

• 일차원 FBSDE의 잘 정의됨 결과를 고차원 시스템으로 확장하기 위해.
• 이전 연구(Zhang, 2005)에서 요구한 미분 가능성과 엄격한 단조성 조건을 더 일반적인 도함수 기반 부등식 조건으로 약화시키기 위해.
• 임의의 시간 지속 기간, 랜덤 계수, 가능하게 비가역적인 전진 확산을 가진 FBSDE의 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• FBSDE의 잘 정의됨 이론에서 단조성 조건이 필요 없도록 제거하기 위해.
• 최소한의 정규성 가정 하에서 안정성과 수렴성을 보장함으로써 마코프성 FBSDE의 수치적 방법에 적용 가능한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 계수 b, σ, f, g의 편미분을 포함하는 새로운 구조 조건(1.6)을 도입하며, 이는 행렬 Λ³ₜ(y)와 Λ⁴ₜ(y)를 통해 표현된다. 이 조건은 잘 정의됨을 보장한다.
• 작은 시간 간격 [Tᵢ₋₁, Tᵢ]에 걸쳐 조각별로 구성하여 국소 해를 임의의 시간 구간으로 전역 해로 확장한다.
• 계수의 리프시츠 연속성과 종단 조건 사상의 리프시츠 상수를 반복적으로 추정하는 안정성 추론을 적용한다.
• 비미분 가능한 계수를 다루기 위해 모리파이어 기반 근사 기법을 활용하여, 일부 도함수가 존재하지 않을 경우에도 조건 (1.6)을 검증할 수 있도록 한다.
• 에너지 유형 부등식과 그론월라 유형 추론을 통해 해 노름을 초기 자료와 계수에 대해 유계로 제한하는 사전 추정을 확립한다.
• 수축 시간 간격에서의 FBSDE 연속 해를 이용해 종단 시간에서 역순으로 해 사상의 재귀적 구성에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수의 단조성 또는 엄격한 미분 가능성 조건을 요구하지 않고도 고차원 FBSDE의 잘 정의됨을 확보할 수 있는가?
• RQ2 임의의 시간 지속 기간 동안 해의 존재성과 유일성을 보장하기 위해 계수에 필요한 구조 조건은 무엇인가?
• RQ3 비가역적인 전진 확산과 랜덤 계수를 가진 시스템으로 FBSDE의 해 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 계수의 정규성 가정을 얼마나 약화시켜도 잘 정의됨이 유지될 수 있는가?
• RQ5 새로운 조건 하에서 계수와 초기 자료의 변형에 대해 해 사상이 안정적인가?

주요 결과

• FBSDE (1.1)은 유일한 해 Θ를 가지며, ||Θ||² ≤ C I₀²를 만족한다. 여기서 C는 조건 (1.6)의 구조 상수 c와 리프시츠 상수에 의존한다.
• 조건 (1.6)은 Zhang(2005)의 이전 조건 (1.2)보다 크게 약화되어 있으며, 특정 도함수 항등식과 미분 가능성 요구 조건이 필요로 하지 않는다.
• 이 방법은 임의의 시간 지속 기간, 랜덤 계수, 비가역적인 전진 확산을 허용하며, 이는 이전 결과에서 허용되지 않았다.
• 일부 편미분(예: ∂ₓσ)이 존재하지 않을 경우에도, 식 (1.7)의 관련 항목이 여전히 정의되어 있다면 결과는 성립한다.
• 안정성 결과(정리 3.1)는 계수와 초기 자료의 소규모 변형이 해에 소규모 변화를 초래함을 보여주며, 이는 강건성을 보장한다.
• 보조정리 3.2는 계수와 초기 자료가 균일 수렴할 경우 해가 수렴함을 확인하여, 수치 근사 방법에 대한 지원을 제공한다.