[논문 리뷰] The Wiener-Khinchin Theorem for Non-wide Sense stationary Random Processes

Wei Lü, Namrata Vaswani|ArXiv.org|2009. 04. 03.

Advanced Statistical Process Monitoring참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 적분 가능성 조건 하에 시간 평균화된 자기상관 함수의 푸리에 변환과 일치하는 전력스펙트럼밀도(PSD)를 갖는 비-광역안정(비-WSS) 확률과정으로 위너-킨친 정리를 확장한다. 주요 기여는 특정 비-WSS 신호에 대해 1차원 스펙트럼 분석 및 니크베스트 기반 하향샘플링을 가능하게 하는 것으로, 공간적으로 비-WSS 신호의 시간 시계열에 대한 시뮬레이션을 통해 검증된다.

ABSTRACT

We extend the Wiener-Khinchin theorem to non-wide sense stationary (WSS) random processes, i.e. we prove that, under certain assumptions, the power spectral density (PSD) of any random process is equal to the Fourier transform of the time-averaged autocorrelation function. We use the theorem to show that bandlimitedness of the PSD implies bandlimitedness of the generalized-PSD for a certain class of non-WSS signals. This fact allows us to apply the Nyquist criterion derived by Gardner for the generalized-PSD.

연구 동기 및 목표

• 비광역안정(비-WSS) 확률과정으로 위너-킨친 정리를 엄밀하게 확장하기.
• 비-WSS 과정의 PSD가 시간 평균화된 자기상관 함수의 푸리에 변환과 일치하는 조건을 설정하기.
• 일부 비-WSS 신호에 대해 PSD의 밴드리미티드 성질이 일반화된-PSD의 밴드리미티드 성질을 유도함을 보여주기.
• PSD 기반 대역폭 추정을 통해 가드너의 니크베스트 기준을 비-WSS 신호의 하향샘플링에 적용할 수 있도록 하기.
• 시간적으로 i.i.d. 또는 정상적 조건 하에 공간적으로 비-WSS 시계열(예: 윤곽의 변형 또는 영상 시계열)에 이론을 검증하기.

제안 방법

• 무한한 시간 구간 동안의 기대값을 갖는 정규화된 페리오그램의 극한으로 PSD를 정의하기.
• 적분 가능성 조건 하에서 피보니의 정리를 적용하여 기대값과 적분의 순서를 바꾸어 시간 평균화된 자기상관 함수 형태를 유도하기.
• 최대 절대 자기상관 함수 $ R_x^m(\tau) = \sup_t |R_x(t, t-\tau)| $ 를 도입하고, 그 적분 가능성 조건을 가정하여 수렴성을 확보하기.
• PSD가 시간 평균화된 자기상관 함수의 푸리에 변환과 일치함을 증명하여 고전적 위너-킨친 정리를 일반화하기.
• 가드너의 일반화된-PSD 결과를 적용하여, 특정 비-WSS 신호 클래스에서 PSD의 밴드리미티드 성질이 일반화된-PSD의 밴드리미티드 성질을 유도함을 보여주기.
• 시간 평균화된 자기상관 함수 및 페리오그램 추정을 사용하여, 공간적으로 비-WSS 시계열의 시간 시계열에 대한 시뮬레이션을 통해 이론을 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위너-킨친 정리는 비광역안정 과정으로 엄밀하게 확장될 수 있는가?
• RQ2 비-WSS 과정의 PSD가 시간 평균화된 자기상관 함수의 푸리에 변환과 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 일부 비-WSS 신호에 대해 PSD의 밴드리미티드 성질이 일반화된-PSD의 밴드리미티드 성질을 유도하는가?
• RQ4 PSD 대역폭 추정을 기반으로 비-WSS 신호에 대해 니크베스트 샘플링 기준을 적용할 수 있는가?
• RQ5 공간적으로 비-WSS 시계열의 시간 시계열은 PSD 기반 대역폭 추정을 통해 하향샘플링될 수 있는가?

주요 결과

• 최대 절대 자기상관 함수의 적분 가능성 조건 하에 비-WSS 과정의 PSD는 시간 평균화된 자기상관 함수의 푸리에 변환과 일치한다.
• NS1 클래스에 속하는 신호들에 대해, PSD의 밴드리미티드 성질은 일반화된-PSD의 밴드리미티드 성질을 유도하며, 이는 가드너의 니크베스트 기준 적용을 가능하게 한다.
• 시간적으로 i.i.d. 또는 정상적인 공간 신호에 대한 시뮬레이션은 이론 결과를 확인한다: 신호 길이가 증가할수록 시간 평균화된 자기상관 함수의 푸리에 변환과 PSD 추정치가 일치한다.
• N=500의 PSD에서 계산된 90%-대역폭의 두 배 속도로 하향샘플링 시 평균 제곱오차가 8.05%이며, N→∞로 갈수록 10%에 가까워진다.
• 이 방법은 조각별 정상 신호에서 경계 검출 또는 분류 이전의 효율적 차원 축소를 가능하게 한다.
• 이론은 i.i.d. 및 시간적으로 정상적인 공간 신호의 시간 시계열(예: 윤곽의 변형 또는 영상 시계열) 모두에서 검증되었다.