[논문 리뷰] The Wigner rotation for photons in an arbitrary gravitational field

Paul M. Alsing, G. J. Stephenson|ArXiv.org|2009. 02. 09.

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한 줄 요약

이 논문은 등가원리를 사용하여 일반 상대성 이론의 평탄한 시공간 결과를 곡률이 있는 시공간으로 일반화함으로써, 임의의 중력장 내에서 광자의 위그너 회전을 유도한다. 광자의 편광은 부스트 방향과 전파 벡터에 의존하는 위그너 회전 각도에 따라 진화하며, 슈바르츠실트 시공간에서는 비영인 효과를 보인다. 페르미-워커 기준좌표계에서 위그너 회전이 없어지는 충분조건이 유도되었으며, 이는 곡률이 있는 시공간에서의 얽힘 상태에 영향을 미친다.

ABSTRACT

We investigate the Wigner rotation for photons, which governs the change in the polarization of the photon as it propagates through an arbitrary gravitational field. We give explicit examples in Schwarzschild spacetime, and compare with the corresponding flat spacetime results, which by the equivalence principle, holds locally at each spacetime point. We discuss the implications of the Wigner rotation for entangled photon states in curved spacetime, and lastly develop a sufficient condition for special (Fermi-Walker) frames in which the observer would detect no Wigner rotation.

연구 동기 및 목표

• 특수상대성 이론과 일반상대성 이론에서 기존에 질량이 있는 입자에 대해 연구된 위그너 회전 개념을 질량이 없는 광자로 확장하여 임의의 중력장 내에서 적용하는 것.
• 등가원리의 맥락에서 곡률이 있는 시공간 내에서 로렌츠 변환에 따른 광자의 편광 진동을 분석하는 것.
• 곡률이 있는 시공간에서 관측자가 위그너 회전을 측정하지 못하는 조건을 도출하는 것. 특히 페르미-워커 기준좌표계를 중심으로 한다.
• 위그너 회전이 곡률이 있는 시공간에서 얽힌 광자 상태와 파aket에 어떤 영향을 미치는지 조사하는 것.
• 슈바르츠실트 시공간에서의 위그너 회전에 대한 명시적 예시를 제공하고, 평탄한 시공간 결과와 비교하는 것.

제안 방법

• 스핀어 표현과 질량이 없는 입자의 헬리시티 형식을 사용하여 로렌츠 군의 표현을 기반으로 위그너 회전 형식을 질량이 있는 입자에서 광자로 일반화한다.
• 표준 위그너 회전 구성 방식을 부스트 분해를 통해 적용: $ \mathbf{W} = \mathbf{L}^{-1}(\Lambda p) \cdot \boldsymbol{\Lambda} \cdot \mathbf{L}(p) $, 광자에 대해 헬리시티 $ \lambda = \pm 1 $로 적응시킨다.
• 등가원리를 활용하여 곡률이 있는 시공간 내 국소적 위그너 회전을 평탄한 시공간의 결과와 연결함으로써, 기존의 평탄한 시공간 결과를 기초로 사용할 수 있도록 한다.
• 부스트 방향 $ \vec{e} $, 전파 방향 $ \hat{\mathbf{k}} $, 편광 벡터 방향에 따라 광자의 위그너 회전 각도 $ \psi(\Lambda, \vec{n}) $ 를 유도한다.
• 삼중기반 기반 기하적 추론을 사용하여 로렌츠 부스트에 따른 편광 벡터의 회전을 계산하고, $ \hat{\mathbf{x}} $-$ \hat{\mathbf{y}} $ 및 $ \hat{\mathbf{y}} $-$ \hat{\mathbf{z}} $ 평면에서의 명시적 예시를 제시한다.
• 위그너 회전이 없는 충분조건을 도출: 부스트 방향이 광자의 전파 방향과 한 편광 벡터가 이루는 평면에 있을 때이고, 삼중기가 적절히 정렬되어 있을 경우, 위그너 각도는 0이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곡률이 있는 시공간 내 광자의 위그너 회전은 평탄한 시공간과 어떻게 다를까? 등가원리는 이 일반화 과정에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ2 슈바르츠실트 시공간에서 전파하는 광자에 대한 위그너 회전 각도의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 곡률이 있는 시공간에서 관측자가 광자에 대해 위그너 회전을 측정하지 못하는 조건는 무엇인가?
• RQ4 위그너 회전은 곡률이 있는 시공간에서 광자 쌍의 편광과 얽힘에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 평탄한 시공간에서 비영인 위그너 회전 각도를 유도하는 기하학적 및 운동학적 구성은 무엇이며, 곡률이 있는 시공간으로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 곡률이 있는 시공간 내 광자의 위그너 회전은 위그너 회전 각도에 광자의 헬리시티를 곱한 인자에 비례하는 위상 인자로 제어되며, 질량이 있는 입자와 유사하지만 질량이 없는 상태에 맞게 조정되었다.
• 슈바르츠실트 시공간에서는 일반적인 광자 궤적에 대해 위그너 회전 각도가 비영이 되며, 명시적 예시는 부스트 방향과 전파 벡터 방향에 따라 달라지는 각도를 보여준다.
• 부스트가 $ \hat{\mathbf{x}} $-$ \hat{\mathbf{y}} $ 평면에 있고 $ \hat{\mathbf{k}} $ 가 $ \hat{\mathbf{x}} $ 방향일 경우, 위그너 각도는 $ \psi = -\vartheta $ 로 주어지며, 여기서 $ \vartheta $ 는 부스트에 의해 유도된 회전 각도이다.
• 부스트 방향이 $ \hat{\mathbf{y}} $-$ \hat{\mathbf{z}} $ 평면에 있고 $ \hat{\mathbf{k}} $ 가 $ \hat{\mathbf{x}} $-$ \hat{\mathbf{y}} $ 평면에 있을 경우, 첫 번째 차수에서 $ \psi = \delta\vartheta \sin\theta \cos\varphi $ 로 주어지며, 이는 비영인 회전을 나타낸다.
• 위그너 회전이 없는 충분조건이 도출되었다: 부스트 방향이 광자의 전파 방향과 한 편광 벡터가 이루는 평면에 있고, 삼중기가 회전축이 편광 평면에 수직이 되도록 정렬되어 있을 경우.
• 결과는 곡률이 있는 시공간에서 얽힌 광자 상태가 기준좌표계에 따라 편광 진동이 달라질 수 있음을 시사하며, 중력장 내 양자통신 및 양자정보에 잠재적인 영향을 미칠 수 있다.