[논문 리뷰] The wild McKay correspondence and $p$-adic measures

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 측도를 사용하여 야수 매크레이 코어스폰던스의 점수세기 판본을 수립하며, 몫 다양체 $X = V/G$의 스트링이 점수세기와 $G$-다양체 $V$의 $G$-스트링이 점수세기 사이에 일치함을 증명한다. 이 결과는 모티브적 불변량을 $p$-진 부피로 표현하여 국소체에 대한 세르와 바르가바의 질량 공식에 대해 새로운, 보다 간단한 증명을 제공한다.

ABSTRACT

We prove a version of the wild McKay correspondence by using $p$-adic measures. This result provides new proofs of mass formulas for extensions of a local field by Serre, Bhargava and Kedlaya.

연구 동기 및 목표

• 모르티브 적분 대신 $p$-진 측도를 사용하여 양의 또는 혼합 특성수에서 매크레이 코어스폰던스를 확장하는 것 (야수 케이스).
• 유한 잔여체를 가진 완비 이산 평가환수 위의 $G$-다양체에 대해 스트링이 불변량의 점수세기 실현을 제공하는 것.
• 추측적 모듈리 공간을 피하여 국소체 확장의 질량 공식에 대해 더 단순하고 보다 원초적인 증명을 제공하는 것.
• 스트링이 $E$-함수와 오르비폭탄 $E$-함수를 $p$-진 부피 수세기 방법을 통해 야수 설정으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 스트링이 점수세기 $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D)$를 $X(\mathcal{O}_K)$의 표준 측도에 대한 $p$-진 부피로 정의한다.
• $G$-스트링이 점수세기 $\sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E)$를 $G$-에탈 $K$-대수 $M$ 위의 가중합으로 정의하며, 각 $M$에 대해 $\sharp_{\mathrm{st}}^M(V,E)$는 $G$-준비 $\mathcal{O}_K$-사상 $\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_M \to V$의 $p$-진 부피로 주어진다.
• $X = V/G$ 및 착란 사상 $(V,E) \to (X,D)$일 때, $p$-진 측도 기법을 사용하여 $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D) = \sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E)$를 증명한다.
• $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D) = \sum_{x \in X(k)} \sharp_{\mathrm{st}}(X,D)_x$ 및 $\sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E) = \sum_M \sharp_{\mathrm{st}}^M(V,E)$의 분해를 이용하여 국소 기여도와 군 작용을 연결한다.
• 기존의 하이르베르트 스킴과 분할에 대한 점수세기 계산을 활용하여 대칭군 작용에 대해 $\sharp_{\mathrm{st}}(V/S_n)$을 계산한다.
• 등식을 적용하여 바르가바 및 세르의 질량 공식을 재증명하며, $p$-진 부피 계산과 알려진 분할 함수 및 판별식 지수를 일치시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모르티브 적분 대신 $p$-진 측도를 사용하여 양의 또는 혼합 특성수에서 야수 매크레이 코어스폰던스를 수립할 수 있는가?
• RQ2 유한군 $G$가 정규 quasi-projective $\mathcal{O}_K$-다양체 $V$에 작용할 때, 몫 다양체 $V/G$의 스트링이 점수세기와 $V$의 $G$-스트링이 점수세기 사이에 일치하는가?
• RQ3 이 코어스폰던스를 사용하여 세르 및 바르가바의 국소체 질량 공식을 재유도할 수 있는가?
• RQ4 $\mathcal{O}_K$-점 위의 $p$-진 측도가 야수 케이스에서 스트링이 $E$-함수와 같은 모르티브 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $G$-에탈 대수는 스트링이 불변량을 가중 점수세기로 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 주어진 $G$-다양체 $V$와 $G$-안정 다항식 $E$에 대해, $X = V/G$ 및 착란 사상 $(V,E) \to (X,D)$일 때 주요 결과 $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D) = \sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E)$가 성립한다.
• $V = \mathbb{A}_{\mathcal{O}_K}^n$ 이며 선형 $G$-작용과 $E = 0$일 때, $M$-스트링이 점수세기 $\sharp_{\mathrm{st}}^M V = \frac{q^{n - \mathbf{v}_V(M)}}{\sharp \mathrm{Aut}^G(M/K)}$이다. 여기서 $\mathbf{v}_V(M)$는 $G$-작용을 캐릭터라이즈하는 함수이다.
• $n$-번째 대칭곱 $\mathrm{Hilb}^n(\mathbb{A}_{\mathcal{O}_K}^2)$의 스트링이 점수세기는 $\sum_{i=0}^{n-1} P(n,n-i) q^{2n - i}$로 계산되며, 이는 하이르베르트 스킴 점수세기 계산을 통해 유도된다.
• $\sharp_{\mathrm{st}}^G V = \sharp_{\mathrm{st}}(V/G)$의 등식은 바르가바의 질량 공식을 암시한다: $\sum_{M \in S_n\text{-}\acute{\mathrm{E}}t(K)} \frac{q^{-\mathbf{v}_V(M)}}{\sharp C_{S_n}(H)} = \sum_{i=0}^{n-1} P(n,n-i) q^{-i}$.
• 세르의 질량 공식은 바르가바의 공식을 역방향으로 지수 공식을 적용하여 재구성되며, 이는 프레임워크 내에서의 일관성을 보여준다.
• 이 방법은 이전 모르티브 접근에서 사용된 추측적 모듈리 공간을 피하며, 야수 매크레이 코어스폰던스의 핵심 결과에 대해 더 짧고 보다 원초적인 증명을 제공한다.