[논문 리뷰] The Witten genus and vertex algebras

Pokman Cheung|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 10.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체 위의 이odal 미분형식을 해소하는 미분형식의 conformal vertex 대수의 sheaf를 구성하며, 이는 측두 미분 연산자에 대한 정밀 해석을 제공하고, Witten 특성수를 코homology의 특성으로서 기하학적으로 실현한다. 주요 결과는 Witten 특성수가 이 해석의 코homology의 계수 특성으로서 나타나며, 첫 번째 및 두 번째 체르니코프 클래스가 0인 다각체를 넘어서 보다 넓은 범주인 string 다각체로의 기하학적 해석을 확장하는 데에 기여한다. 이는 곡률 형식에 대한 장애이론적 조건을 통해 실현된다.

ABSTRACT

This article is the first report of an ongoing project aimed at finding a geometric interpretation of the Witten genus and other tmf classes. Section 2 reviews the sheaves of chiral differential operators (CDOs) over a complex manifold, including their construction, obstructions and relation with the Witten genus. In section 3, the structure of each sheaf of CDOs is reorganized in terms of modules over the sheaf of holomorphic functions. This invokes the notion of a differential graded vertex algebroid. The construction of sheaves of CDOs is due to Gorbounov, Malikov and Schechtman, and so is the notion of a vertex algebroid; the differential graded version is first introduced here. Section 4 contains the main result, namely the construction of a sheaf of differential graded conformal vertex algebras that provides a fine resolution of a sheaf of CDOs. This `infinite dimensional Dolbeault complex' plays a role for the Witten genus similar to that of the Dolbeault complex for the Todd genus.

연구 동기 및 목표

• c1과 c2가 0인 다각체를 넘어서 Witten 특성수의 기하학적 해석을 제공함으로써, 이의 정의를 string 다각체로 확장하는 것.
• 복소다양체 위의 chiral 미분 연산자를 해소하는 미분형식의 conformal vertex 대수의 sheaf를 구성하는 것.
• Dolbeault 복합체가 Todd 특성수의 역할을 하는 해석을 통해 Witten 특성수의 코homological 특성화를 수립하는 것.
• ch1과 ch2의 위상적 장애(0의 존재)를 미분형식과 곡률 접속을 통해 설명하는 것.
• vertex 대수적 구조를 통해 Witten 특성수의 물리적 기원과 tmf 및 σ-orientation를 통합하는 것.

제안 방법

• 복소다양체 M 위에 국소 vertex 대수적 구조와 접합 자료 ξ를 사용하여 chiral 미분 연산자 D^ch_{M,ξ}의 sheaf를 구성하며, 이는 c1(M)=c2(M)=0 이어야 한다.
• D^ch_{M,ξ}를 O_M-모듈로서의 대수적 구조를 형식화하기 위해 미분형식의 (dg) vertex algebroid 개념을 도입한다.
• dH = -Tr(R∧R)를 만족하는 전역 (3,0)+(2,1)-형식 H를 사용하여 복합체 E^{ch,•}_{M,H}의 해석을 개발함으로써 전역 conformal 구조를 실현한다.
• 해석 복합체의 코homology에서 전역 conformal 벡터장 ν를 정의하여 Virasoro 대수와 중심 전하 2d와의 호환성을 확보한다.
• 해석 복합체에 대한 Dolbeault 유사 미분 ∂^ch를 사용하여 코homology를 계산하며, 이는 conformal vertex 초대수의 구조를 상속한다.
• 코homology의 특성을 W(M)/η(q)^{2d}로 유도함으로써, Witten 특성수가 코homology의 계수 추적으로서 나타남을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 c1=c2=0인 다각체의 고전적 설정을 넘어서, vertex 대수를 통한 Witten 특성수의 기하학적 해석은 어떻게 가능할 수 있는가?
• RQ2 복소다양체 위의 chiral 미분 연산자에 기초한 대수적 구조는 무엇이며, 이를 미분형식 방법을 통해 어떻게 전역화할 수 있는가?
• RQ3 해석 복합체에 전역 conformal 구조가 존재하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 해석 복합체 E^{ch,•}_{M,H}는 tmf와 σ-orientation의 기하학적 모델로 어떻게 작용하는가?
• RQ5 Tr(R)와 Tr(R∧R)의 곡률 형식은 코homological 불변량을 통해 Witten 특성수를 모듈러 형식으로 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• W(M)는 미분형식의 conformal vertex 대수의 sheaf의 코homology, 즉 H^*(Γ(E^{ch,•}_{M,H}), ∂^ch)의 특성으로 나타나며, η(q)^{-2d}의 인자로 인해 조정된다.
• 해석 복합체 E^{ch,•}_{M,H}의 구성은 dH = -Tr(R∧R)를 만족하는 전역 (3,0)+(2,1)-형식 H의 존재를 필요로 하며, 이는 ch2(M)=0과 위상적으로 동치이다.
• 전역 conformal 구조가 존재하는 것은, dA = Tr(R)를 만족하는 전역 (1,0)-형식 A의 존재와 동치이며, 이는 ch1(M)=0과 동치이다.
• 해석 복합체의 코hom로는 conformal vertex 초대수와 동형이며, 그 특성이 W(M)/η(q)^{2d}로 나타나, Witten 특성수의 기하학적 실현이 이루어진다.
• ξ와 conformal 구조의 존재에 대한 장애류는 각각 Tr(R)과 Tr(R∧R)로 표현되며, M이 string일 때 정확히 0이 된다.
• 이 결과는 해석이 tmf-orientation을 vertex 대수적 방법으로 코어하는 복합체를 통해, c1과 c2가 0이 아닌 모든 string 다각체로 Witten 특성수의 기하학적 해석을 일반화한다.