[논문 리뷰] The word and conjugacy problems in lacunary hyperbolic groups

Arman Darbinyan|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 15.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 희박한 하이퍼볼릭 군(LHG)에서 단어 문제의 결정 가능성을 위한 필수 및 필요조건을 확립하고, 계층적 소작소 취소 이론을 기반으로 하여 단어 문제와 쌍대 문제를 매우 제어할 수 있는 LHG를 구성하는 프레임워크를 개발한다. 이는 임의의 재귀적으로 열거 가능한 언어 $\Sigma$에 대해, $\Sigma$에 대한 소속 문제와 LHG에서의 쌍대 문제 사이에 거의 선형 시간 등가가 존재함을 보이며, 거의 선형 시간 단어 문제를 갖는 군과 결정 불가능한 개별 쌍대 문제를 갖는 군을 구성한다. 또한, 효율적으로 결정 가능한 단어 문제와 쌍대 문제를 갖는 무한한 어휘적으로 완전하고 비순환 Tarski 몬스터 군을 구성한다.

ABSTRACT

We study the word and conjugacy problems in lacunary hyperbolic groups (briefly, LHG). In particular, we describe a necessary and sufficient condition for decidability of the word problem in LHG. Then, based on the graded small-cancellation theory of Olshanskii, we develop a general framework which allows us to construct lacunary hyperbolic groups with word and conjugacy problems highly controllable and flexible both in terms of computability and computational complexity. As an application, we show that for any recursively enumerable subset $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}^*$, where $\mathcal{A}^*$ is the set of words over arbitrarily chosen non-empty finite alphabet $\mathcal{A}$, there exists a lacunary hyperbolic group $G_{\mathcal{L}}$ such that the membership problem for $ \mathcal{L}$ is `almost' linear time equivalent to the conjugacy problem in $G_{\mathcal{L}}$. Moreover, for the mentioned group the word and individual conjugacy problems are decidable in `almost' linear time. Another application is the construction of a lacunary hyperbolic group with `almost' linear time word problem and with all the individual conjugacy problems being undecidable except the word problem. As yet another application of the developed framework, we construct infinite verbally complete groups and torsion free Tarski monsters, i.e. infinite torsion-free groups all of whose proper subgroups are cyclic, with `almost' linear time word and polynomial time conjugacy problems. These groups are constructed as quotients of arbitrarily given non-elementary torsion-free hyperbolic groups and are lacunary hyperbolic. Finally, as a consequence of the main results, we answer a few open questions.

연구 동기 및 목표

• 희박한 하이퍼볼릭 군에서 단어 문제의 결정 가능성에 대한 특성화.
• 단어 문제와 쌍대 문제의 계산 복잡도를 제어할 수 있는 일반적 프레임워크를 개발하는 것.
• 일부 LHG에서 쌍대 문제가 임의의 재귀적으로 열거 가능한 소속 문제와 거의 선형 시간 등가임을 보여주는 것.
• 단어 문제와 쌍대 문제가 거의 선형 시간 내에 효율적으로 결정 가능한 무한한 어휘적으로 완전하고 비순환 Tarski 몬스터 군을 구성하는 것.

제안 방법

• 올샤노프스키의 계층적 소작소 취소 이론을 활용하여 제어된 취소 조건을 갖는 하이퍼볼릭 군의 사슬을 구축.
• $(\lambda,c,\epsilon,\eta)$-순환 축소 알고리즘을 도입하여 쌍대 다이어그램을 분석하고 시간 복잡도를 추정.
• 평면 바나켄 다이어그램과 날렵한 쌍대 다이어그램을 사용하여 군 원소의 기하적 성질과 그들의 쌍대성을 분석.
• 최소 매개변수 원칙(LPP)을 적용하여 다이어그램 내 경로와 셀의 길이를 유계화함으로써 알고리즘 효율성을 확보.
• 쌍대 문제의 효과성을 보장하기 위해 조건 $C'(\mathcal{TM},(g_i),({\rho}_i))$를 만족하는 희박한 하이퍼볼릭 군의 부분류를 정의.
• 원소가 아닌 비순환 비순환 하이퍼볼릭 군의 몫으로서 군을 구성하여 원하는 구조적 및 알고리즘적 성질를 달성.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희박한 하이퍼볼릭 군에서 단어 문제가 결정 가능하기 위한 필수 및 필요조건은 무엇인가?
• RQ2 희박한 하이퍼볼릭 군에서 쌍대 문제가 임의의 재귀적으로 열거 가능한 언어의 소속 문제와 거의 선형 시간 등가로 만들 수 있는가?
• RQ3 희박한 하이퍼볼릭 군 중에서 거의 선형 시간 단어 문제를 갖지만 개별 쌍대 문제는 결정 불가능한 군을 구성할 수 있는가?
• RQ4 무한한 어휘적으로 완전하거나 비순환 Tarski 몬스터 군을 희박한 하이퍼볼릭 군으로 구성할 수 있으며, 이 경우 단어 문제와 쌍대 문제가 효율적으로 결정 가능한가?
• RQ5 계층적 소작소 취소는 이러한 군에서 단어 문제와 쌍대 문제의 계산 복잡도를 어떻게 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 재귀적으로 열거 가능한 부분집합 $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}^*$에 대해, $\mathcal{L}$에 대한 소속 문제와 군 $G_{\mathcal{L}}$에서의 쌍대 문제 사이에 거의 선형 시간 등가가 성립하는 희박한 하이퍼볼릭 군 $G_{\mathcal{L}}$가 존재한다.
• $G_{\mathcal{L}}$에서 단어 문제와 개별 쌍대 문제 모두 거의 선형 시간 내에 결정 가능하다.
• 단어 문제는 거의 선형 시간 내에 결정 가능하지만, 모든 개별 쌍대 문제들은 결정 불가능한 희박한 하이퍼볼릭 군이 존재한다.
• 무한한 어휘적으로 완전한 군과 비순환 Tarski 몬스터 군은 각각 거의 선형 시간과 다항 시간 내에 단어 문제와 쌍대 문제가 결정 가능한 희박한 하이퍼볼릭 군으로 구성할 수 있다.
• 이 프레임워크는 소작소 취소와 하이퍼볼릭성의 맥락에서 이러한 군의 존재성과 제어 가능한 알고리즘 복잡도에 관한 열린 문제를 해결한다.