[논문 리뷰] The Zakai equation of nonlinear filtering for jump-diffusion observation: existence and uniqueness

Claudia Ceci, Katia Colaneri|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 16.

Seismic Imaging and Inversion Techniques참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 신호 및 관측 과정이 상관되어 있고 공통의 점프 시간을 공유하는 점프-확산 모델에서 비선형 필터링의 Zakai 방정식에 대한 해의 존재성과 경로 유일성을 확립한다. Kushner-Stratonovich 방정식과 Zakai 방정식의 강한 유일성 간의 등가성을 증명함으로써, 이는 점프-확산 설정으로 필터링된 마르팅글 문제 접근법을 확장하며, 비정규화된 필터가 선형 SDE를 통해 잘 정의되고 계산 가능하게 보장한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the nonlinear filtering problem for a general Markovian partially observed system (X,Y), whose dynamics is modeled by correlated jump-diffusions having common jump times. At any time t, the sigma-algebra generated by the observation process Y provides all the available information about the signal X. The central goal of stochastic filtering is to characterize the filter which is the conditional distribution of X, given the observed data. It has been proved in Ceci-Colaneri (2012) that the filter is the unique probability measure-valued process satisfying a nonlinear stochastic equation, the so-called Kushner-Stratonovich equation (KS-equation). In this paper the aim is to describe the filter in terms of the unnormalized filter, which is solution to a linear stochastic differential equation, called the Zakai equation. We prove equivalence between strong uniqueness for the solution to the Kushner Stratonovich equation and strong uniqueness for the solution to the Zakai one and, as a consequence, we deduce pathwise uniqueness for the solutions to the Zakai equation by applying the Filtered Martingale Problem approach (Kurtz-Ocone (1988), Kurtz-Nappo (2011), Ceci-Colaneri (2012)). To conclude, we discuss some particular cases.

연구 동기 및 목표

• 부분적으로 관측된 마코프 시스템에서 상관된 점프-확산 동역학을 가진 비정규화된 필터(즉, Zakai 방정식)의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 이전에 확산 관측에 사용된 바 있는 필터링된 마르팅글 문제 접근법을 공통의 점프 시간을 가진 점프-확산 관측의 경우로 확장하는 것.
• 이 설정에서 Kushner-Stratonovich 방정식과 Zakai 방정식의 강한 유일성 간의 등가성을 입증하여 Zakai 해에 대한 경로 유일성을 보장하는 것.
• 혼합형 관측 모델에서 Zakai 방정식에 갈레르킨 또는 양자화 방법과 같은 수치적 방법을 적용하기 위한 엄밀한 확률론적 기반을 제공하는 것.
• 금융 및 공학 적용 분야에서 흔한 상관된 점프를 가진 시스템으로 이전의 비선형 필터링 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 관측 필터레이션에 대해 Girsanov 유형의 측도 변화를 적용하여 비정규화된 필터에 대한 선형 확률미분방정식으로 Zakai 방정식을 유도한다.
• Radon-Nikodym 도함수를 통해 정규화된 필터와 비정규화된 필터를 연결하기 위해 Kallianpur-Striebel 공식을 사용한다.
• 기존의 Kushner-Stratonovich 방정식에 대한 경로 유일성 결과를 활용하여, 필터링된 마르팅글 문제 접근법을 적용하여 Zakai 방정식에 대한 강한 유일성을 증명한다.
• 기저 SDE의 존재성과 유일성을 보장하기 위해 드리프트, 확산 및 점프 계수에 대해 성장 조건과 국소 리프시츠 조건을 도입한다.
• 실수 값을 가진 랜덤 카운팅 측도를 다룰 수 있도록 점프 측도의 전이 함수를 도입하여 밀도 과정의 구성 가능성을 보장한다.
• 측도 변화를 생성하는 국소 마르팅글을 정의하기 위해 Doléans-Dade 지수를 활용하며, 이는 새로운 확률 측도 하에서 엄밀한 양의 값과 적분 가능성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상관된 점프-확산 관측을 공유하는 비선형 필터링 문제에 대해 Zakai 방정식이 유일한 해를 가지는가?
• RQ2 필터링된 마르팅글 문제 접근법을 점프-확산 모델로 확장하여 Zakai 방정식에 대한 경로 유일성을 입증할 수 있는가?
• RQ3 이 설정에서 Zakai 방정식의 해에 대한 강한 유일성이 Kushner-Stratonovich 방정식의 해에 대한 강한 유일성과 동치인가?
• RQ4 비정규화된 필터 과정이 새로운 확률 측도 하에서 잘 정의되고 엄밀히 양의 값을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ5 비정규화된 필터는 혼합형 관측 모델에서 비선형 Kushner-Stratonovich 방정식의 계산 가능 대체 방법으로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 계수에 대한 성장 조건과 국소 리프시츠 조건 하에서 Zakai 방정식의 해는 존재하며 경로 유일성이 보장된다.
• Kushner-Stratonovich 방정식의 강한 유일성은 Zakai 방정식의 강한 유일성과 상호 등가이며, 이는 두 방정식 간의 등가성을 입증한다.
• 새로운 확률 측도 하에서 비정규화된 필터 과정은 거의 확실히 엄밀히 양의 값을 가지며, 이는 Kallianpur-Striebel 공식의 타당성을 보장한다.
• 필터링된 마르팅글 문제 접근법은 성공적으로 점프-확산 모델로 확장되었으며, 이는 Zakai 방정식에 대한 경로 유일성 증명을 가능하게 한다.
• 전이 함수 가정 덕분에 실수 값을 가진 랜덤 카운팅 측도를 다룰 수 있으며, 점프 측도 분석에서 발생하는 기술적 장애 요소를 극복할 수 있다.
• 결과적으로 갈레르킨 또는 최적 양자화와 같은 수치 근사 방법을 선형 Zakai 방정식에 적용하기 위한 엄밀한 기반을 제공한다.