[논문 리뷰] The Zeta function, Periodic Points and Entropies of the Motzkin Shift

Kokoro Inoue|arXiv (Cornell University)|2006. 02. 06.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 4인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유한 방향 그래프와 역반군 구조를 통해 S-표현을 이용하여 Motzkin 시프트의 제타 함수, 주기점 수, 엔트로피를 계산하는 방법을 제시한다. 주기점들을 그들의 다중성수에 따라 분류하고, 변간 이동과의 전단사 사상 구축을 통해 제타 함수, 주기점 수, 엔트로피에 대한 정확한 공식을 유도한다. 이는 Dyck 시프트의 결과를 더 넓은 Motzkin 시프트 계열으로 일반화하며, 명시적인 닫힌 형태의 표현을 제공한다.

ABSTRACT

We discuss a method of calculating the zeta function of subshifts which have a presentation by a finite directed graph labeled by elements of the associated inverse semigroup. This class of subshifts is introduced as a class of property A subshifts(T.Hamachi, K.Inoue and W.Krieger/Subsystems of finite type and semigroup invariants of subshifts, preprint), and the Dyck shift and the Motzkin shift are representative subshifts in this class. The exact number of the periodic points and entropies are also given by this method, and these values are used in the embedding condition for an irreducible shift of finite type into a subshift in this class.

연구 동기 및 목표

• S-표현을 갖는 하위시프트, 특히 Motzkin 시프트의 제타 함수, 주기점 수, 엔트로피를 체계적으로 계산하는 방법을 개발하는 것.
• Dyck 시프트에 대한 기존 결과를 추가로 중립 기호를 포함하는 더 일반적인 Motzkin 시프트 계열으로 일반화하는 것.
• 주기점의 다중성수 분류와 전단사 사상에 의해 Motzkin 시프트의 주기점과 변간 이동 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 기약적인 유한형 시프트의 임베딩 조건을 가능하게 하는 주기점 수와 엔트로피 값에 대한 정확한 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• 주기 블록의 빨간색 매핑에서 유도된 다중성수의 성격(양, 음, 중립)에 따라 Motzkin 시프트 내 주기점을 분류한다.
• 특정 다중성수 유형을 가진 주기점 집합과 단순화된 그래프 G' 및 G''의 변간 이동 간에 명시적인 전단사 사상을 구축한다.
• Sch"utzenberger 방법과 순환 코드의 생성함수를 이용하여 변간 이동 생성함수로부터 제타 함수를 계산한다.
• 부분구성요소의 생성함수에 기반하여 제곱근을 포함하는 유리함수 형태로 전체 Motzkin 시프트의 제타 함수를 도출한다.
• 포함-배제 원리를 적용하여 총 수를 양성/음성 부분의 기여도로 분해하고 공통된 구조에서의 중복 계산을 제거한다.
• 관련 그래프의 주요 고유값의 로그로서 위상적 엔트로피를 생성함수의 수렴 반경을 이용해 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 S-표현과 변간 이동 전단사 사상에 의해 Motzkin 시프트의 제타 함수는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 Motzkin 시프트에서 주기 n의 정확한 주기점 수는 얼마이며, 다양한 다중성수 유형으로부터의 기여도는 어떻게 분해되는가?
• RQ3 Motzkin 시프트의 위상적 엔트로피는 얼마이며, Dyck 시프트와 비교해보면 어떠한가?
• RQ4 Motzkin 시프트의 엔트로피 h+와 h−는 시프트의 구조와 어떻게 관련되어 있으며, 어떤 조건에서 서로 다를 수 있는가?
• RQ5 Dyck 시프트의 알려진 결과와 생성함수를 이용하여 Motzkin 시프트의 제타 함수를 닫힌 형태로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• Motzkin 시프트의 제타 함수는 다음과 같은 닫힌 형태로 주어진다: ζ(X(M),z) = 2(1+√(1−8Mz²)) / [(1−4Mz+√(1−8Mz²))(1−4z+√(1−8Mz²))].
• Motzkin 시프트에서 주기 n의 주기점 수는 짝수 n에 대해 (2M+1)^n + (M+2)^n − ∑_{i=0}^{[n/2]} (n choose i) 2^i (M^i + M^{n−i}) + (n choose n/2)(2M)^{n/2}이며, 홀수 n에 대해서는 유사하게 2배의 계수를 가지며 표현된다.
• Motzkin 시프트의 위상적 엔트로피는 h(X(M)) = log(M+2)이며, h+ = log(2M+1) 및 h− = log(M+2)로 주어져 M > 1일 때 비대칭성을 보인다.
• Dyck 유형 경로의 집합 E에 대한 생성함수는 f(E,z) = (1/2)(1−√(1−8Mz²))로, Dyck 시프트 D_{2M}과 정확히 동일하다.
• 양성 부분과 음성 부분의 제타 함수는 각각 ζ+(X(M),z) = 2 / (1−4Mz+√(1−8Mz²)) 및 ζ−(X(M),z) = 2 / (1−4z+√(1−8Mz²))로 주어진다.
• 주기점 생성함수의 수렴 반경은 h+에 대해 1/(2M+1), h−에 대해 1/(M+2)이며, 엔트로피 값의 정확성을 수렴 반경의 역수를 통해 확인한다.