[논문 리뷰] The Zetafast algorithm for computing zeta functions

Kurt W. Fischer|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 04.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

Zetafast 알고리즘은 기능적 방정식에서 유도된 세 개의 절대 수렴 급수를 기반으로 하여, 임의의 정밀도로 리만 제타 함수와 관련된 L-함수를 계산하는 데 새로운 방법을 제공한다. 이 알고리즘은 임의의 $ \epsilon > 0 $ 에 대해 최대 $ C(\epsilon)|\tau|^{1/2+\epsilon} $ 개의 항을 사용하며, 명시적인 오차 한계를 제공한다. 이는 딜리클레 L-함수 및 유사한 기능적 방정식을 가진 기타 제타 함수에 적용 가능하다.

ABSTRACT

We express the Riemann zeta function $ζ\left(s ight)$ of argument $s=σ+iτ$ with imaginary part $τ$ in terms of three absolutely convergent series. The resulting simple algorithm allows to compute, to arbitrary precision, $ζ\left(s ight)$ and its derivatives using at most $C\left(ε ight)\left|τ ight|^{\frac{1}{2}+ε}$ summands for any $ε>0$, with explicit error bounds. It can be regarded as a quantitative version of the approximate functional equation. The numerical implementation is straightforward. The approach works for any type of zeta function with a similar functional equation such as Dirichlet $L$-functions, or the Davenport-Heilbronn type zeta functions.

연구 동기 및 목표

• 리만 제타 함수 $ \zeta(s) $ 를 임의의 정밀도로 빠르고 수치적으로 안정적인 알고리즘으로 계산하는 것.
• $ \zeta(s) $ 와 그 도함수의 근사에 대해 명시적이고 정량적인 오차 한계를 제공하는 것.
• 기능적 방정식 조건을 만족하는 경우, 딜리클레 L-함수 및 다벤포트-하일브로른 유형의 제타 함수를 포함한 다른 제타 함수로 방법을 확장하는 것.
• 리만-시겔 공식 수준의 성능을 달성하면서도 엄밀한 오차 제어와 수렴 보장을 제공하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 정규화된 비정규화 감마 함수 $ Q(v, n/N) $ 를 사용하여 $ \zeta(s) $ 를 세 개의 절대 수렴 급수인 $ D(s) $, $ E_1(s) $, 및 $ E_{-1}(s) $ 의 합으로 표현한다.
• 제타 함수의 기능적 방정식을 활용하여, $ n $ 에 대한 합과 $ m $ 에 대한 합 사이의 이중성 관계를 통해 제타 값의 표현을 가능하게 하며, 위상 및 감마 인자 보정을 포함한다.
• $ D(s) $ 는 $ \lceil \lambda v N \rceil $ 에서 잘라내며, $ \lambda = 3.151 $ 이고 오차가 $ \delta/3 $ 이하가 되도록 보장한다.
• $ E_\mu(s) $ 급수의 오차는 점근 전개와 감마 함수 및 이항 전개를 이용한 나머지 항의 경계를 통해 제어된다.
• $ v = \lceil x_0 \rceil $ 를 선택하며, 여기서 $ x_0 $ 는 $ x - \max((1-\sigma)/2, 0)\ln(1/2 + x + \tau) = \ln(8/\delta) $ 을 만족하는 해이다. 이는 정확도와 계산 비용 사이의 균형을 맞춘다.
• 기능적 방정식의 구조에 문자 $ \chi $ 와 가우스 합 $ G(\chi) $ 를 통합하여, 이 방법을 딜리클레 L-함수로 일반화할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기능적 방정식을 기반으로 하여, 명시적인 오차 한계를 제공하는 유한한 항 수를 사용해 리만 제타 함수를 임의의 정밀도로 계산할 수 있는가?
• RQ2 필요로 하는 항의 수가 $ s $ 의 허수부 $ \tau $ 와 어떻게 비례하는가? 그리고 임의의 $ \epsilon > 0 $ 에 대해 $ O(|\tau|^{1/2+\epsilon}) $ 로 경계될 수 있는가?
• RQ3 이 알고리즘이 딜리클레 L-함수 및 유사한 형태의 기능적 방정식을 가진 기타 제타 함수로 확장될 수 있는가?
• RQ4 주어진 정밀도 $ \delta $ 를 달성하기 위해 필요한 최소 항 수는 얼마이며, 이를 어떻게 최적화할 수 있는가?

주요 결과

• Zetafast 알고리즘은 오차 $ \delta $ 내에서 $ \zeta(s) $ 를 계산하며, 최대 $ S \leq 2 + 8\sqrt{1 + \ln(8/\delta) + \max((1-\sigma)/2, 0)\ln(2\tau)}\sqrt{1 + \tau} $ 개의 항을 사용하며, 명시적인 오차 제어를 제공한다.
• $ \tau > \frac{5}{3}(\frac{3}{2} + \ln(8/\delta)) $ 인 경우, 항의 수는 임의의 $ \epsilon > 0 $ 에 대해 $ O(|\tau|^{1/2+\epsilon}) $ 으로 비례하며, 리만-시겔 공식의 점근적 효율성과 일치한다.
• 고정된 $ \lambda = 3.151 $ 을 사용하여 임의의 정밀도를 달성하며, $ D(s) $ 의 나머지 오차는 $ \delta/3 $ 이하로 제한되며, $ E_\mu(s) $ 에 대해서도 유사한 경계가 성립한다.
• 기본적이지 않은 비어 있는 문자를 가진 딜리클레 L-함수로도 이 방법을 확장할 수 있으며, 가우스 합과 기능적 방정식의 구조를 통합한다.
• $ \zeta(s) $ 의 도함수는 급수의 항별 미분을 통해 계산할 수 있으며, 동일한 프레임워크에서 유도된 명시적인 오차 경계를 제공할 수 있다.
• 이 방법은 모든 구성 요소와 오차 경계가 명시적으로 계산 가능한 약한 기능적 방정식의 정량적 형태를 제공한다.