[논문 리뷰] Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata

Leonhard Euler, Artur Diener외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 09.

History and Theory of Mathematics인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 오일러의 토이언트 함수를 사용하여 페르마의 소정리의 일반화를 위한 새로운 대수적 방법을 제시한다. 오일러는 $ a $ 가 $ N $ 과 서로소인 모든 정수 $ a $ 에 대해 $ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod{N} $ 라고 증명한다. 여기서 $ \phi(N) $ 는 $ N $ 보다 작고 $ N $ 과 서로소인 정수의 개수이다. 주요 기여는 산술급수의 성질과 모듈로 역수를 이용한 이 일반화의 기초적인 증명으로, 이제 수론에서 알려진 오일러의 정리의 이론적 기초를 확립한다.

ABSTRACT

Euler presents a third proof of the Fermat theorem, the one that lets us call it the Euler-Fermat theorem. This seems to be the proof that Euler likes best. He also proves that the smallest power x^n that, when divided by a numer N, prime to x, and that leaves a remainder of 1, is equal to the number of parts of N that are prime to n, that is to say, the number of distinct aliquot parts of N. The translation is presnted from Euler's Latin original into German.

연구 동기 및 목표

• 소수 모듈로를 초월해 임의의 양의 정수 $ N $ 에 대해 페르마의 소정리를 일반화하는 것.
• $ N $ 보다 작고 $ N $ 과 서로소인 정수의 개수를 체계적으로 결정하는 방법을 개발하는 것, 즉 $ \phi(N) $ 을 정의하고 계산하는 것.
• $ \gcd(a, N) = 1 $ 일 때 $ a^{\phi(N)} - 1 $ 이 $ N $ 으로 나누어떨어진다는 것을 증명하여 일반적인 합동 법칙을 확립하는 것.
• 산술급수와 모듈로 역수의 성질을 이용한 새로운 구성적 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• $ N $ 과 서로소인 공차 $ d $ 를 가진 산술급수를 사용하여, 그 잔여류가 $ N $ 모듈로로 $ 0 $ 에서 $ N-1 $ 까지의 모든 정수를 포함함을 보여준다.
• $ d $ 가 $ N $ 과 서로소이면, $ a, a+d, a+2d, \dots, a+(N-1)d $ 의 첫 $ N $ 개 항이 $ N $ 모듈로에서 서로 다른 잔여류를 갖는다는 것을 증명한다.
• 이 $ N $ 개의 서로 다른 잔여류가 $ 0, 1, \dots, N-1 $ 을 모두 포함해야 한다는 것을 쌍둥이 원리(피그노르 원리)를 적용하여 보여주며, 이는 나누어떨어짐을 암시한다.
• $ \phi(N) $ 을 $ N $ 보다 작고 $ N $ 과 서로소인 정수의 수로 정의하고, $ \gcd(a, N) = 1 $ 일 때 $ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod{N} $ 라고 증명한다.
• $ a $ 모듈로 $ N $ 의 차수를 정의한다. 이는 $ a^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ 이 되는 가장 작은 $ \nu $ 로 정의되며, $ \nu \mid \phi(N) $ 임을 보여준다.
• $ x^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ 이면 $ x^{k\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ 라는 사실을 이용하여, 전체 지수 $ \phi(N) $ 가 $ \nu $ 의 배수이므로 합동식을 만족함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 페르마의 소정리는 복합 모듈로로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 $ \gcd(a, N) = 1 $ 일 때 $ a^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ 이 되는 가장 작은 지수 $ \nu $ 는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 모듈로 $ N $ 의 곱셈군의 구조는 어떻게 되며, $ N $ 과 서로소인 원소는 몇 개인가?
• RQ4 일반적인 합동 법칙 $ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod{N} $ 을 확립할 수 있는가?
• RQ5 $ a $ 모듈로 $ N $ 의 차수와 $ \phi(N) $ 의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $ N $ 과 서로소인 모든 정수 $ a $ 에 대해 $ a^{\phi(N)} - 1 $ 이 $ N $ 으로 나누어떨어지며, 즉 $ a^{\phi(N)} \equiv 1 \pmod{N} $ 이다.
• $ \phi(N) $ 는 오일러의 토이언트 함수로 불리며, $ N $ 보다 작고 $ N $ 과 서로소인 정수의 개수를 세는 데 쓰인다.
• $ a^{\nu} \equiv 1 \pmod{N} $ 이 되는 가장 작은 지수 $ \nu $ 는 $ \phi(N) $ 를 나누며, 즉 $ \nu \mid \phi(N) $ 이다.
• $ N $ 이 소수이면 $ \phi(N) = N-1 $ 이고, 이 경우 결과는 페르마의 소정리로 줄어든다: $ a^{N-1} \equiv 1 \pmod{N} $.
• 증명은 공차 $ d $ 가 $ N $ 과 서로소인 산술급수가 $ N $ 모듈로에서 $ 0 $ 에서 $ N-1 $ 까지의 모든 값을 포함하는 잔여류를 생성한다는 사실에 기반한다.
• 이 결과는 $ \gcd(a, N) = 1 $ 인 모든 $ a $ 에 대해 성립하며, 지수 $ \phi(N) $ 는 이러한 모든 $ a $ 에 대해 균일하게 작용하는 최대의 지수이다.