[논문 리뷰] Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes

Leonhard Euler, Artur Diener외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 16.

History and Theory of Mathematics인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 여러 고전적 수론 정리를 원천적으로 분석적으로 증명하며, 주로 유리수 직각삼각형의 넓이가 완전 제곱수일 수 없다는 것을 입증한다. 이는 두 개의 4차 거듭제곱의 합 또는 차가 완전 제곱수가 될 수 없다는 것을 의미한다.Euler는 무한강하법과 피타고라스 수의 매개변수화를 사용하여, 8 + 1 = 9의 경우를 제외하고는 어떤 입체수 ±1도 완전 제곱수가 될 수 없음을 증명하고, 이를 확장하여 1 이외의 삼각수는 완전 4차 거듭제곱이 될 수 없음을 보여준다.

ABSTRACT

Euler proves that the sum of two 4th powers can't be a 4th power and that the difference of two distinct non-zero 4th powers can't be a 4th power and Fermat's theorem that the equation x(x+1)/2=y^4 can only be solved in integers if x=1 and the final theorem y^3+1=x^2 can only be solves for x=3 and y=2 in integers. The paper is translated from Euler's Latin original into German.

연구 동기 및 목표

• 이전에 주장되거나 느슨하게 추론된 고전적 수론적 명제에 대해 엄밀하고 분석적인 증명을 제공함. 특히 페르마의 정리에 중점을 두고.
• 오랫동안 미해결된 문제인, 유리수 직각삼각형의 넓이가 완전 제곱수일 수 있는지 여부를 해결함.
• 8 + 1 = 9의 경우를 제외하고는 어떤 입체수 ±1도 완전 제곱수가 될 수 없음을 증명함.
• 이러한 결과를 확장하여, 1 이외의 삼각수는 완전 4차 거듭제곱이 될 수 없음을 보임.
• 이러한 증명들을 기하학적 직관에서 분리된 명확하고 대수적인 형태로 제시하여 보다 광범위한 접근성과 분석적 명료성을 확보함.

제안 방법

• 무한강하법을 사용하여, 유리수 직각삼각형의 넓이가 완전 제곱수가 될 수 없음을 증명함.
• 서로소 정수 p와 q(한쪽은 짝수, 다른 한쪽은 홀수)를 이용한 기초 피타고라스 수의 매개변수화를 적용하여, 빗변을 a = p² - q² 및 b = 2pq로 표현함.
• 보조정리 1: 서로소 정수의 곱이 완전 거듭제곱이 되려면 각 요소가 모두 완전 거듭제곱이어야 함.
• a³b + b⁴의 세제곱 형태를 분석하여, 그것이 완전 제곱수가 될 수 있는 조건을 도출함. 이를 디오판틴 방정식의 체계로 환원함.
• a + b = c로 치환하고, 3으로 나누어떨어지는지 여부에 따라 경우를 나누어, 식이 오직 a = 2b일 때에만 완전 제곱수가 될 수 있음을 분석함.
• 유리수 매개변수화와 치환(예: m/n = 3qq + pp / 2pq)을 적용하여 문제를 더 작은 해로 환원하고, 자명한 경우를 제외하면 모순이 발생함을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리수 직각삼각형의 넓이가 언제나 완전 제곱수가 될 수 있는가?
• RQ2 입체수 ±1이 완전 제곱수가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 1 이외에 완전 4차 거듭제곱인 삼각수가 존재하는가?
• RQ4 두 개의 4차 거듭제곱의 합 또는 차가 완전 제곱수가 될 수 있는가?
• RQ5 α³βx⁴ ± αβ³y⁴ 형태의 식이 완전 제곱수가 되기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 유리수 직각삼각형의 넓이는 완전 제곱수가 될 수 없으며, 이는 두 개의 4차 거듭제곱의 합 또는 차가 완전 제곱수가 될 수 없음을 의미한다.
• 입체수에 1을 더한 것이 완전 제곱수가 되는 유일한 경우는 입체수가 8일 때이며, 이 경우 9 = 3²가 된다.
• 유리수 범위 내에서도 입체수에서 1을 뺀 값이 완전 제곱수가 되는 경우는 존재하지 않는다.
• 모든 비영인 정수 x와 y에 대해 x⁶ + y⁶는 완전 제곱수가 될 수 없다.
• 모든 비영인 정수 x와 y에 대해 x⁶ - y⁶는 완전 제곱수가 될 수 없다.
• 완전 4차 거듭제곱인 유일한 삼각수는 1이며, T₁ = 1 = 1⁴이기 때문이다.