[논문 리뷰] Theoretical and computational aspects of entanglement

Harm Derksen, Shmuel Friedland외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 19.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 38인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 양자 시스템에서 기하적 얽힘과 핵노름 최대화 사이의 이중성을 수립하며, 기하적 얽힘 측정에서 최대값을 갖는 상태가 핵노름에서도 최대값을 갖는다는 것을 증명한다. 혼합 d-편재 상태를 위한 d-밀도 텐서를 도입하여, 분리 가능성은 핵노름이 정확히 1일 때에 해당됨을 보이며, 핵노름을 계산하기 위한 교대 알고리즘을 제안하여 3-qubit의 W-상태가 최대로 얽힌 상태임을 수치적으로 확인하고, 4-qubit에 대한 Higuchi-Sudbery 추측을 확인한다.

ABSTRACT

We show that the two notions of entanglement: the maximum of the geometric measure of entanglement and the maximum of the nuclear norm is attained for the same states. We affirm the conjecture of Higuchi-Sudberry on the maximum entangled state of four qubits. We introduce the notion of d-density tensor for mixed d-partite states. We show that d-density tensor is separable if and only if its nuclear norm is $1$. We suggest an alternating method for computing the nuclear norm of tensors. We apply the above results to symmetric tensors. We give many numerical examples.

연구 동기 및 목표

• d-편재 양자 시스템에서 텐서의 기하적 얽힘 측정과 핵노름 사이의 이론적이고 계산적인 연결 고리를 수립하기 위해.
• 기하적 측정에서 최대 얽힘을 갖는 상태가 정확히 핵노름 최대값을 갖는다는 것을 증명하여, 4-qubit 최대 얽힘 상태에 대한 추측을 확인하기 위해.
• 혼합 d-편재 상태를 위한 d-밀도 텐서의 개념을 도입하고, 핵노름이 정확히 1일 때에만 분리 가능성을 특성화하기 위해.
• 특히 대칭 텐서에 대해 핵노름을 계산하기 위한 교대 알고리즘을 개발하고 검증하며, 알려진 얽힌 상태에서의 수치적 확인을 수행하기 위해.
• 대칭 d-qubit 상태(Bosons)가 큰 d에 대해 덜 얽혀 있으며, 그들의 얽힘은 다항식 시간 내에 효율적으로 계산될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 텐서의 핵노름을 계산하기 위한 교대 최적화 알고리즘을 제안하며, 스펙트럴 노름을 위한 방법과 유사하게 작동하며 국소 최소값 또는 임계점으로 수렴함을 보인다.
• 혼합 d-편재 상태를 위한 밀도 행렬의 일반화로서 d-밀도 텐서를 도입하며, 분리 가능성은 핵노름이 정확히 1일 때에 해당됨을 보인다.
• 핵노름을 비분리성의 척도로 사용하여, 핵노름은 최소 1이며, 분리 가능한 상태일 때에만 정확히 1임을 보였다.
• 대칭 텐서에 대해 교대 알고리즘을 적응시키며, Nie(2012)의 Lasserre의 수반 정수계획법 방법과 결과를 비교하였다.
• 수치 소프트웨어를 사용하여 대칭 d-qubit 상태, 특히 W-상태와 d-대칭 qubit 상태의 스펙트럴 및 핵노름을 계산하였다.
• 실수 및 복소수 영역에서 대칭 상태의 무작위 샘플링을 통해 알고리즘의 강건성과 일관성을 검증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하적 얽힘 측정에서 최대값을 갖는 상태는 핵노름에서도 최대값을 갖는가?
• RQ2 d-밀도 텐서의 핵노름이 정확히 1이 되는 것은 상태가 분리 가능할 때에만 성립하는가?
• RQ3 교대 알고리즘이 특히 대칭 텐서에 대해 핵노름을 안정적이고 고정밀도로 계산할 수 있는가?
• RQ4 W-상태는 3-qubit 상태 중 가장 얽힌 상태인가? 그리고 Higuchi와 Sudbery가 추측한 4-qubit 상태는 최대 얽힘을 달성하는가?
• RQ5 대칭 d-qubit 상태는 큰 d에 대해 덜 얽혀 있으며, 그들의 얽힘은 다항식 시간 내에 계산될 수 있는가?

주요 결과

• 기하적 얽힘 측정에서 최대값을 갖는 상태와 핵노름에서 최대값을 갖는 상태가 정확히 일치하며, 이는 두 얽힘 척도 사이의 이중성을 확인한다.
• d-밀도 텐서의 핵노름이 정확히 1이 되는 것은 상태가 분리 가능할 때에만 성립하며, 이는 핵노름을 통한 분리 가능성의 완전한 특성화를 제공한다.
• Higuchi-Sudbery가 제안한 4-qubit 최대 얽힘 상태에 대한 추측은 수치 계산과 이론적 분석을 통해 참으로 확인되었다.
• 3-qubit의 경우, W-상태가 스펙트럴 및 핵노름의 수치 계산을 통해 가장 얽힌 상태로 확인되었다.
• 문헌 [2]에서 제안한 d-대칭 qubit 상태는 d=3에서 6까지의 수치적 확인을 통해 가장 얽힌 대칭 d-qubit 상태임을 확인하였다.
• 핵노름 계산을 위한 교대 알고리즘은 안정적으로 수렴하며, 수반 정수계획법 방법과 일치하는 결과를 보였으며, 실수 및 복소수 대칭 텐서 전반에서 일관된 성능을 보였다.