[논문 리뷰] Theoretical and numerical studies on global stability of traveling waves with oscillations for time-delayed nonlocal dispersion equations

Tianyuan Xu, Shanming Ji외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 17.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 가중 에너지 방법과 기본 해 이론을 조합하여 시간 지연이 있는 비국소 분산 방정식에서 시간에 따라 진동하는 파동의 전역 안정성을 확립한다. 비판적 파동에 대해서는 시간 지수적 수렴 속도, 비비판적 파동에 대해서는 시간 대수적 수렴 속도를 증명하며, 진동적이고 비국소적인 해를 안정화하기 위해 인위적 점성도를 도입한 새로운 유한차분 스킴을 통해 수치적으로 검증한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the global stability of non-critical/critical traveling waves with oscillations for time-delayed nonlocal dispersion equations. We first theoretically prove that all traveling waves, especially the critical oscillatory traveling waves, are globally stable in a certain weighted space, where the convergence rates to the non-critical oscillatory traveling waves are time-exponential, and the convergence to the critical oscillatory traveling waves are time-algebraic. Both of the rates are optimal. The approach adopted is the weighted energy method with the fundamental solution theory for time-delayed equations. Secondly, we carry out numerical computations in different cases, which also confirm our theoretical results. Because of oscillations of the solutions and nonlocality of the equation, the numerical results obtained by the regular finite difference scheme are not stable, even worse to be blow-up. In order to overcome these obstacles, we propose a new finite difference scheme by adding artificial viscosities to both sides of the equation, and obtain the desired numerical results.

연구 동기 및 목표

• 시간 지연이 있는 비국소 분산 방정식에서 진동성을 갖는 이동파의 전역 안정성을 조사한다.
• 비비판적 및 비비판적 진동 이동파로 향하는 해의 수렴 행동을 분석한다.
• 시간 지연이 있는 진동적이고 비국소적인 방정식을 풀 때 기존의 유한차분 스킴에서 발생하는 수치적 불안정성을 극복한다.
• 인위적 점성도를 사용하여 안정화된 수치 스킴을 개발하여 이러한 시스템의 장기적 역학을 정확하게 시뮬레이션한다.
• 다양한 매개변수 영역에서 이론적 안정성 결과를 수치 계산을 통해 확인한다.

제안 방법

• 시간 지연이 있는 편미분 방정식에 대해 가중 에너지 방법과 기본 해 이론을 조합한다.
• 선형화된 시스템의 라플라스 변환을 사용하여 이동파 속도와 스펙트럼 성질에 대한 특성 방정식을 유도한다.
• 가중 소볼레프 공간에서 수렴 속도를 확립한다: 비비판적 파동에 대해서는 지수적 수렴, 비비판적 파동에 대해서는 대수적 수렴.
• 양측에 인위적 점성도를 추가하여 진동적이고 비국소적인 해를 안정화하는 새로운 유한차분 스킴을 제안한다.
• 시간 지연이 있는 비국소 PDE를 수치적으로 풀기 위해 선형화 방법(메서드 오브 라인스)과 반디스cretization을 사용한다.
• 여러 매개변수 케이스에서 수치적 해를 해석적 이동파 프로파일과 비교하여 이론적 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 지연이 있는 비국소 분산 방정식에서 비비판적 및 비비판적 진동 이동파로 수렴하는 해의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 시간 지연은 이러한 시스템에서 비판적 이동파의 진동 성질에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 기존의 유한차분 스킴은 진동적이고 비국소적이며 시간 지연이 있는 방정식을 신뢰성 있게 시뮬레이션할 수 있는가, 아니면 불안정성이나 폭주 현상에 노출되는가?
• RQ4 비국소적이며 시간 지연이 있는 PDE에서 진동 해의 계산을 안정화시키기 위한 수치 전략은 무엇인가?
• RQ5 시간 지연, 생식/사망률 비율 등의 매개변수 조건에서 비판적 파동이 단조적에서 진동적으로 전이되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 비비판적 진동 이동파는 가중 공간에서 시간 지수적 속도로 평형에 수렴하며, 이는 최적이다.
• 비판적 진동 이동파는 시간 대수적 속도로 수렴하며, 이 역시 최적임을 확인하여 날카로운 감쇠 행동을 뒷받침한다.
• $ p=5, r=0.2 $일 때 비판적 파동 속도는 $ c^* = 5.104 $이며, 해는 단조적 이동파로 단조롭게 수렴한다.
• $ p=5, r=2 $일 때 비판적 파동 속도는 $ c^* = 1.311 $로 감소하며, 큰 시간 지연으로 인해 해는 진동 이동파로 수렴한다.
• $ p=10, r=0.2 $일 때 $ c^* = 7.153 $이며, $ r < \underline{r} = 0.225 $이므로 파동은 여전히 단조적이다. 이는 이론적 예측과 일치한다.
• $ p=10, r=2 $일 때 $ c^* = 1.618 $이며, $ \underline{r} < r < \overline{r} $이므로 해는 진동 이동파로 수렴한다. 이는 진동 영역임을 확인한다.