[논문 리뷰] Theories with EF-Equivalent Non-Isomorphic Models

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|2007. 03. 16.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기저가 되는 이론 $T$가 비이sov모르피즘의 모델을 동일한 비가산 기수 $\lambda$에서 가지며, 모든 $\alpha < \lambda$에 대해 EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$-동치인 경우를 조사한다. 이는 이sov모르피즘에 이르지 않는 구조적 유사성의 정도를 나타낸다. 강제법과 모델 이론적 기법을 사용하여, $T$가 강한 안정성(strongly stable)이 아닐 경우, 이러한 '지방' 이론의 일致성(consistency)을 입증한다. 특히 $\aleph_0$-독립(비강한 종속) 이론에 대해 이를 확장하며, 주요 갭 이분법을 더 넓은 불안정 이론의 범주로 확장한다.

ABSTRACT

Our "long term and large scale" aim is to characterize the first order theories T (at least the countable ones) such that: for every ordinal alpha there lambda,M_1,M_2 such that M_1,M_2 are non-isomorphic models of T of cardinality lambda which are EF_{alpha, lambda}-equivalent. We expect that as in the main gap we get a strong dichotomy, so in the non-structure side we have stronger, better examples, and in the structure side we have a parallel of [Sh:c,XIII]. We presently prove the consistency of the non-structure side for T which is aleph_0-independent (= not strongly dependent), even for PC(T_1, T).

연구 동기 및 목표

• 모든 $\alpha < \lambda$에 대해 비가산 기수 $\lambda$에서 이sov모르피즘은 아니지만 EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$-동치인 모델이 존재하는 일阶 이론 $T$를 특성화하는 것.
• 분류 이론에서 주요 갭 이분법을 확장하여, 이러한 EF$^{+}$-동치 이sov모르피즘 모델이 존재할 조건을 규명하는 것. 특히 구조가 없는 측면에서의 응용을 목표로 한다.
• 강제법을 사용하여 $\aleph_0$-독립(비강한 종속) 이론에 대해 이러한 모델의 존재 일치성을 확립하는 것. 특히 $\mathrm{PC}(T_1,T)$-클래스의 맥락에서도 적용 가능하다.
• 모델 이론적 복잡성에서 '지방성(fatness)'을 더 잘 포착하는 Ehrenfeucht-Fraïssé 게임(EF$^{+}$)의 더 강력한 변형을 제공하는 것. 더 단순한 경우는 배제한다.

제안 방법

• 기본 EF$^{\alpha,\lambda}$-동치를 더 강화시켜, 구조적 복잡성을 더 잘 탐지할 수 있도록 한 EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$라는 개선된 Ehrenfeucht-Fraïssé 게임 버전을 도입한다.
• 모델 이론적 성질을 강제로 전이하기 위해 $\mu$-완전 강제법 $\mathbb{P}$를 적용하여, $T$의 모델을 구성한다. 이때 $T$가 강한 안정성이 아닐 경우, EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$-동치이지만 이sov모르피즘은 아닌 모델이 존재하도록 한다.
• 불완전성과 강제법 하에서의 모델 이론적 성질로의 전이를 위해 $\kappa$-후보와 $\Upsilon^{\omega_1\text{-tr}}_{\kappa}$-증거자 개념을 사용한다.
• [HySh:529]과 [Sh:c]의 결과를 적용하여, 이러한 모델의 존재가 특정 허위-기초 클래스에서의 분류성의 실패와 동치임을 보인다.
• 기초 클래스를 초월한 일반화를 위해 $\mathrm{PC}(T_1,T)$, 즉 $T$-포화된 $T_1$의 모델 집합을 사용한다.
• §4의 ZFC 결과에 기반하여, 정규 기수 $\lambda$에 대해 EF$^{+}_{\lambda \times \kappa, \lambda, \lambda^+}$-동치는 $\kappa = \mathrm{cf}(\kappa) < \kappa(T)$일 때 이sov모르피즘을 배제함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일阶 이론 $T$가 비가산 기수 $\lambda$에서 모든 $\alpha < \lambda$에 대해 EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$-동치이지만 이sov모르피즘은 아닌 모델을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 강한 안정성 또는 강한 종속성이 아닐 경우, 이러한 EF$^{+}$-동치 이sov모르피즘 모델의 존재가 일관되게 확립될 수 있는가?
• RQ3 새로운 EF$^{+}$-동치 관계는 고전적 EF-동치 관계보다 어떻게 모델 이론적 복잡성을 더 잘 포착하는가?
• RQ4 강제법은 $T$가 $\aleph_0$-독립이거나 DOP/OTOP을 가질 경우 이러한 모델을 어떻게 구성하는가?
• RQ5 이러한 모델이 존재하는 모델 이론적 복잡성의 이분법은, $T$가 초안정이면서 NDOP와 NOTOP를 만족할 때 정확히 존재하는가?

주요 결과

• 논문은 $T$가 강한 안정성이 아닐 경우, $\mu$-완전 강제법을 통한 일반 확장에서 $T$가 '지방'이 되며, 임의로 큰 $\lambda$에 대해 기수 $\lambda$에서 EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$-동치이지만 이sov모르피즘은 아닌 모델을 가짐을 증명한다.
• 모든 $\mu = \mu^{<\mu} > |T|$에 대해, $\mathbb{V}^\mathbb{P}$에서 $T$가 일관되게 지방이 되는 $\mu$-완전 강제법 $\mathbb{P}$가 존재한다. 이는 $\mathrm{PC}(T_1,T)$-클래스의 맥락에서도 성립한다.
• 이 결과는 $\aleph_0$-독립 이론(즉, 비강한 종속)에 대해 성립하며, DOP나 OTOP을 가진 이론들에도 적용 가능하다. 이러한 이론들은 이미 불안정한 것으로 알려져 있다.
• ZFC에서 정규 기수 $\lambda > |T|$에 대해, $\kappa = \mathrm{cf}(\kappa) < \kappa(T)$일 때 $\mathrm{PC}(T_1,T)$에서 기수 $\lambda^+$인 EF$^{+}_{\lambda \times \kappa, \lambda, \lambda^+}$-동치 이sov모르피즘 모델이 존재한다. 특히 $T$가 불안정할 경우 성립한다.
• $\kappa \geq 2^{\aleph_0}$일 때 ZFC에서 $\lambda$에서의 분류성과 EF$^{+}$-동치 이sov모르피즘 모델의 존재 여부 간의 동치 관계를 확립하였다. 즉, 분류성의 실패는 이러한 모델의 존재를 암시한다.
• 논문은 초안정이면서 NDOP와 NOTOP를 만족할 경우, $\lambda^+$에서 EF$^{+}$-동치 이sov모르피즘 모델이 존재하지 않음을 보이며, 이는 주요 갭 프레임워크 내에서 동치 관계의 완전한 순환을 완성한다.